Exponentialfunktion Ableitung gleich?
Hallo Leute, wir hatten im Unterricht die Funktion e^x, bei der die Ableitung identisch mit der Funktion ist. Nun wurde uns die Frage gestellt, wie eine Exponentialfunktion beschaffen sein muss, damit die Ableitung identisch ist. Gibt es überhaupt noch andere Funktionen, bei denen das so ist? Oder geht es bei der Frage um e. Ich habe keinen durchblick mehr. Würde mich sehr freuen über Antworten. LG
2 Antworten
Ja, es gibt eine: Die Nullfunktion. Die lässt sich aber auch als Spezialfall für
a⋅e^{x}, a ∈ ℝ
auffassen, die wegen
(a⋅f(x))' = a⋅f'(x)
alle gleich ihrer Ableitung sind.
Alle Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen
Funktion und Ableitungsfunktion proportional sind.
Die Älteren werden sich vielleicht noch daran erinnern, dass es auf Sparguthaben einst sogenannte Guthabenzinsen gab. Dabei stieg das Guthaben in einem bestimmten Zeitraum (1 Jahr) um einen festen Prozentsatz (bei mir damals 2,5% p.a.) und damit um einen festen Faktor (damals 1,025).
Je mehr drauf war, desto mehr kam dazu.
Wenn Bakterien einen guten Nährboden und genug Platz haben, verdoppelt sich ihre Zahl in der Zeit, die durchschnittlich zwischen zwei Teilungen jedes einzelnen Bakteriums liegt.
Beim radioaktiven Zerfall ist es umgekehrt: Eine bestimmte Sorte von Atomkernen wandelt sich in eine andere um und wird weniger. Da jeder Atomkern dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, sich in einem bestimmten Zeitraum umzuwandeln, ist auch hier die Abnahme proportional zur Menge.
Der Proportionalitätsfaktor ist in physikalischen Beispielen natürlich dimensionsbehaftet, d. h., er trägt eine Maßeinheit. Der Exponent darf keine haben.
Die Euler'sche Zahl e ist diejenige Zahl, bei der der Proportionalitätsfaktor gleich 1 ist. Übrigens kann man das Verhalten der Funktion auch an ihrer Potenzreihe erkennen:
e^{x} = ∑_[k=0]^{∞} x^{k}/k! = 1 + x + ½x² + x³/6 +…
Jeder Summand ist die Ableitung des nächsten..
Was passiert mit der Ableitung, wenn man eine Funktion mit einer Konstanten multipliziert?
Die systematische Berechnung der Lösungen und der Nachweis, dass es keine weiteren gibt, gehört in den Bereich der Differentialgleichungen.