Konstante in der Ableitung?
Hallo zusammnen,
die Ableitung der Funktion x^3 +3 ist 3x^2. Die Konstante fällt weg. Gilt dies auch für die Funktion x^3 -3. Ist dort Ergebnis identisch oder bleibt eine negative Konstante stehen?
Vielen Dank.
6 Antworten
Deutlich gesagt:
additive Konstanten fallen weg (das sind die mit Plus oder Minus).
Multiplikative Konstanten bei x werden bei Differentiation und Integration durchgereicht (das sind die mit "mal" und "durch").
f(x) = x³ + 1 f '(x) = 3x²
f(x) = x³ - 1 f '(x) = 3x²
f(x) = x³ + π r² f '(x) = 3x²
f(x) = 4x³ f '(x) = 12x²
f(x) = - 1/4 x³ f '(x) = - 3/4 x²
f(r) = π r² f '(r) = 2 π r
(Beim Kreis ist der Umfang die Ableitung der Fläche nach r)
Konstanten fallen in Ableitungen immer weg, das ist richtig. Damit du auch verstehst, weshalb das so ist:
Die Ableitung gibt dir die Steigung der Funktion bzw. der Tangente am Punkt x an. Sowohl f(x) = x^3 + 3 als auch g(x) = x^3 - 3 sind Polynome dritten Grades. Der einzige Unterschied besteht darin, dass g relativ zu f um 6 Einheiten nach unten verschoben ist. Das ist für die Steigung aber nicht relevant, also ist die Ableitung gleich. Wenn du an derselben Stelle an beide Funktionen eine Tangente malst, sind die beiden Tangenten offensichtlich parallel - die Funktionen haben also dieselbe Steigung. Das ist eigentlich sehr einleuchtend. Nur, weil du die Funktion nach oben oder unten verschiebst, verändert sich ihre Form bzw. die Steilheit der Kurven nicht.
Als Merkhilfe kannst du auch die Ableitungsregel anwenden für z. B.
-3 * x^0 (ist das gleiche wie -3, denn: x^0 ist ja immer 1).
Nach der Regel: Den Exponent davorziehen und 1 abziehen.
Da wir dann "0 mal" davorziehen ist egal, was danach kommt, es kommt immer 0 Raus. Ob dort -3, + 0,5 oder Pi steht oder was x ist ist dann ganz egal.
-> Auch -3 fällt weg.
Das finde ich auch jetzt noch immer wieder erstaunlich wie sowas dann stimmig aufgeht und in sich widerspruchsfrei bleibt, egal wie viele Umstellungen man auch vornimmt.
Konstanten fallen immer weg bei der Ableitung. Egal ob positiv oder negativ.
Ist da genauso, egal ob negativ oder positiv.