Frage von Chrissy34, 91

Beweis Exponentialfunktion und Ableitung proportional?

Wir nehmen zur Zeit das Thema Exponetialfunktionen durch. Das Thema an sich finde ich einfach, jedoch verstehe ich nicht wieso genau die Ableitung der Fuktion f(t)=100e^-0,025t proportional zu ihrer Ableitung f'(t)=-2,5e^-0,025t ist. In einer Teilaufgabe meiner Hausaufgabe soll ich das begründen. Ist es weil der Exponent immer gleich ist und es gilt bei der Ableitung k*x, wegen der Kettenregel? Ich verstehe das nicht ganz und eine genau Erklärung dazu habe ich nirgends im Internet gefunden. Zumindest keine die ich wirklich verstehe. Bei den meisten seiten wird dies direk angenommen ohne es zu erklären. Wäre echt lieb, wenn jemand mir das helfen könnte.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 60

proportional bedeutet, dass sich zwei Werte (z. B. x und y) immer durch den gleichen Faktor (z. B. a) unterscheiden, bzw. das Verhältnis x/y (oder y/x) immer gleich ist, sprich: x=a*y.

Das ist hier der Fall: f(t)=-40*f'(t) (denke, Du hast bei beiden das t im Exponenten vergessen,  und bei der Ableitung x statt t geschrieben).

Das liegt bei der e-Funktion tatsächlich daran, dass bei der Ableitung die "e-Potenz" stehen bleibt und nur die innere Ableitung des Exponenten als Faktor hinzukommt (sofern die Variable ^1 ist, bei e^x² ist die Ableitung nicht mehr proportional zur dazugehörigen Funktion).

Kommentar von Chrissy34 ,

Ja, so meinte ich das. Danke dir. Habe aus Verzweiflung einfach schnell die Frage reingestellt, ohne es großartig zu überprüfen :D Stellt der Exponent dann die Steigung dar?  Denn dann macht es Sinn. Mein Lehrer ist nicht gerade ein super Genie und im Erklären zeigt sich das auch sehr oft.

Kommentar von Rhenane ,

Der Exponent gibt an, wie steil (schnell) es nach oben geht bzw. bei negativem Exponenten nach unten (je größer der Exponent um so steiler die Kurve)

Kommentar von Chrissy34 ,

Was ja auch die Funktion der Steigung ist oder? Ich denke ich habs verstanden danke :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

Hallo,

eigentlich sind beide umgekehrt proportional.

f(t) nähert sich der x-Achse allmählich von oben, während f'(t) dies von unten tut.

Das bedeutet, je größer f(t) ist, desto kleiner ist f't), was in diesem Fall bedeutet:

Ist der Funktionswert von f(t) hoch über der x-Achse, ist der dazugehörige Funktionswert von f'(t) tief unter ihr. 

Da f'(t) für jedes t die Steigung von f(t) angibt, bedeutet dies wiederum, daß der Funktionsgraph von f(t) umso steiler abwärts geht, desto kleiner t ist.

Wenn t sehr groß wird, wird die Kurve immer flacher, bis sie sich fast an die x-Achse anschmiegt. Weil eine flachere Kurve auch eine Ableitung bedeutet, die näher an der 0 ist als eine steile Kurve, ist klar, daß sich auch f'(t) der x-Achse nähert, allerdings aus dem negativen Bereich, weil die Kurve von f(t) stetig abfällt, wenn eben auch immer flacher. Sie ist ein wenig wie eine langgestreckte Skisprungschanze geformt, wird aber niemals waagerecht, weshalb die Ableitung auch niemals die x-Achse, sprich: die 0 erreicht.

Herzliche Grüße,

Willy

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