Warum Potenzregel nicht bei Exponentialfunktion?
(zu meiner Verteidigung; ich stehe gerade einmal am Anfang des Themas)
Mir geht es bei dieser Frage nicht mal um die Erklärung von e-Funktionen, ich suche einfach eine möglichst einfache Antwort auf die Frage, warum man die Potenzregel nicht auf Exponentialfunktionen anwenden kann.
Sprich, warum die Ableitung von f(x)=2^x nicht gleich f'(x)=x*2^x-1 sein kann.
Vielen Dank im Voraus.
7 Antworten
Die Potenzregel gilt nur wenn x die Basis ist und nicht die Potenz. Bei 2^x ist ja 2 die Basis und x die Potenz. Exponentialfunktionen beschreiben eine ganz andere Art von Funktionen.
Dazu solltest du dir die Herleitung der Potenzregel ansehen.
Dabei wirst du feststellen, dass die Regel tatsächlich nur für Potenzfunktionen gelten kann, und nicht auch für Exponentialfunktionen.
- f : x |—> 2^x = exp(Log(2)·x)
Ist kein Polynom in x, sprich keine lineare Summe aus x^n für verschiedene Konstanten n.
Die Form ist x |—> exp(k·x) und daher ist die Abbleitung f´ : x |—> k·exp(k·x) = k·f(x) = Log(2)·2^x
Einfache Überlegung:
g(x) = x * 2^(x-1) hat eine Nullstelle bei x = 0, aber
f(x) = 2^x hat weder dort noch sonstwo eine waagrechte Tangente.
Also kann g(x) nicht die Ableitung von f(x) sein.
Weil die Potenzregel nur gilt wenn x die Basis ist.