Frage von werweisswasokay, 564

Ergibt sinus geteilt durch cosinus = tangens?

Antwort
von JTKirk2000, 288

Ja, tan = sin / cos.

Die Begründung steht in meinem Kommentar zur Antwort von JetteSgf, aber da die Arbeit für nicht vollkommen umsonst sein soll, zitiere ich den relevanten Teil meines Kommentars in dieser Antwort:

"Wenn tan = Gk / Ak, sin = Gk / Hyp und cos = Ak / Hyp dann ist auf jeden Fall tan = sin / cos, denn wenn man tan, sin und cos auflöst erhält man folgendes:

Gk / Ak = (Gk / Hyp) / (Ak / Hyp) [Hervorherbung durch Kursiv- und Fettschrift zum Zweck der Unterscheidung]
Gk / Ak = Gk * Hyp / Ak / Hyp [Hypothenuse durch Hypothenuse ist gleich 1 kann also einfach entfernt werden]
Gk / Ak = Gk / Ak [Folglich ist die Aussage, dass tan = sin / cos ist, korrekt]"

Gk steht für Gegenkathete, Ak für Ankathete und Hyp für Hypothenuse

Antwort
von Simsek1997, 261

Eselsbrücke

SCT
_______
GAG
HHA

S=Sinus defi:Gegenkathe/Hypotonose

Usw...

Ich hoffe ich konnte dir helfen :-)

Kommentar von werweisswasokay ,

ja die merk ich mir danke!

Kommentar von Simsek1997 ,

Bitte :-)

Antwort
von Karl37, 147

Das ist richtig. Der Beweis kommt  über den Strahlensatz

Antwort
von wurstbrot94, 212

nein, sinus Alpha = Länge der Gegenkathete / Länge der Ankathete
Cosinus Alpha = Länge Ankathete/Länge Hypotenuse
Tangens Alpha= Länge Gegenkathete/ Länge Ankathete

Kommentar von wurstbrot94 ,

ich habe das 1:1 aus meiner Formelsammlung abgeschrieben das muss stimmen also wenn du noch Fragen hast gerne. ich beherrsche das Thema

Kommentar von Wunnewuwu ,

Wenn du das Thema beherrscht, dann beantworte doch auch die Frage?!

Das was du geschrieben hast ist zwar richtig, aber das war doch gar nicht gefragt!

Kommentar von PWolff ,

Beim Sinus hast du dich verschrieben.

Kommentar von TSoOrichalcos ,

Wenn du es beherschen würdest würdest du wissen dass man den tangen auf verschiedene weisen berechnen kann. tan(x)=sin(x)/cos(x) ist richtig. genauso wie sin(x)=sqrt(1-cos^2(x))

Kommentar von wurstbrot94 ,

es tut mir leid aber ich habe es damals nur so in der schule gelernt

Antwort
von JetteSgf, 153

Hypotenuse ist immer die längste seite eines rechtwinkligen dreiecks und liegt gegenüber vom rechten winkel..
Ankathete liegt immer an dem Winkel den man hat oder ausrechnen möchte und die gegenkathete gegenüber

Kommentar von DieChemikerin ,

Du hast wohl keine Ahnung vom Einheitskreis.

Antwort
von JetteSgf, 146

sin= Gegenkathete durch hypotenuse

cos= Ankathete durch Hypotenuse

tan= Gegenkathete durch Ankathete

Und deine Frage kann man mit nein beantworten :)


Kommentar von werweisswasokay ,

wieso mit nein, begründung fehlt

Kommentar von JetteSgf ,

weil das einfach sinnlos ist.. das geht nicht .. 

Kommentar von JetteSgf ,

guck dir mal ein youtube video an indem dir erklärt wird wie die trigonimetrie funktioniert

Kommentar von DieChemikerin ,

Jette, das würde ich eher DIR raten,

Kommentar von JTKirk2000 ,

Schon traurig, denn offenbar hast Du nie etwas von Einheitenbetrachtung oder die Verbindung von Formeln gehört (zu letzterem fällt mir gerade der Begriff nicht ein).

Wenn tan = Gk / Ak ist dann ist auf jeden Fall tan = sin / cos, denn wenn man tan, sin und cos auflöst erhält man folgendes:

Gk / Ak = (Gk / Hyp) / (Ak / Hyp) [Hervorherbung durch Kursiv- und Fettschrift zum Zweck der Unterscheidung]
Gk / Ak = Gk * Hyp / Ak / Hyp [Hypothenuse durch Hypothenuse ist gleich 1 kann also einfach entfernt werden]
Gk / Ak = Gk / Ak [Folglich ist die Aussage, dass tan = sin / cos ist, korrekt] 

Kommentar von PWolff ,

Ohne die übrigen Kommentare hätte ich vermutet, du hättest hier versehentlich "nein" statt "ja" geschrieben.

Ich weiß nicht mehr, wann in der Schule das Kürzen von Doppelbrüchen drankommt, aber es ist entweder in der Grundschule oder spätestens in der Unterstufe.

Expertenantwort
von DieChemikerin, Community-Experte für Mathematik, 71

Einfache Antwort: ja :)

Wenn noch genauere Fragen dazu sind, dann melde dich :)

LG

Kommentar von werweisswasokay ,

danke für die antwort! wenn du dich auskennst würde ich dich gerne fragen wie du sin cos und tan definierst? ich habe in erinnerung dass alle drei das prozentuale verhältnis zwischen zwei seiten eins rechtwinkligen dreieckes angeben?

Kommentar von JetteSgf ,

das stimmt nicht 

Kommentar von DieChemikerin ,

@Jette: Erstens hat er das aus seiner Formelsammlung. Zweitens bin ich im Mathe Leistungskurs und solche Banalitäten werde ich wohl wissen, oder meinst du nicht?

@werweisswasokay: Das ist easy eigentlich. Dazu brauchst du den Einheitskreis. Das heißt, du zeichnest dir ein Koordinatensystem, setzt im Mittelpunkt an und schlägst einen Kreis mit der Einheit 1 (der Radius an sich muss nicht genau 1 sein, aber die Einheiten sollten entsprechend gewählt sein). Nun nimmst du dir irgendeinen Punkt P auf dem Kreis und zeichnest nun ein Dreieck, so etwa:

http://www.math.uni-leipzig.de/pool/tuts/SelfDXD/DirectXGraphics/theorie/degkrei...

So. Nun hat das Dreieck ja am Ursprung einen Winkel Alpha, nicht wahr? Die Hypotenuse ist genau 1 lang, weil das ja dem Radius des Kreises entspricht. Es gelten ja folgende Formeln:

sin(Alpha) = GK/H

cos(Alpha) = AK/H

DIe Hypotenuse ist 1, also lässt sich das hier vereinfachen:

sin(Alpha) = Gegenkathete

cos(Alpha) = Ankathete

Das heißt (und da kommen wir zu den Definitionen):

Der Sinus des Winkels Alpha entspricht im Einheitskreis der y-Koordinate des Punktes P.

Der Kosinus des Winkels Alpha entspricht der x-Koordinate des Punktes P.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten, zu zeigen, warum jetzt tan(Alpha) = sin(Alpha)/cos(Alpha) gilt:

a) Der Tangens ist im rechtwinkligen Dreieck GK/AK, also Gegenkathete durch Ankathete. Die Gegenkathete hatten wir als Sinus, die Ankathete als Kosinus definiert, woraus folgt, dass tan = sin/cos.

b) Die zweite Möglichkeit sind die Strahlensätze. Sieh dir dazu folgende Erweiterung des Einheitskreises an:

http://www.mathe-online.at/materialien/julian.langmann/files/Winkelfunktionen_am...

Nun ist die Ankathete 1 lang; wir erhalten eine Strahlensatzfigur! Es gilt laut den Strahlensätzen

tan(Alpha)/1 = sin(Alpha)/cos(Alpha)

Hattest du garantiert irgendwann mal, oder?

Nun vereinfachen wir zu

tan(Alpha) = sin(Alpha) / cos(Alpha)

Somit ist der Kosinus des Winkels Alpha im Einheitskreis als der Quotient des y- und des x-Wertes definiert.

Daraus folgt gleich noch Folgendes: 

tan(Alpha) = m

Stell dir vor, du würdest die Hypotenuse in beide Richtungen fortführen. Du erhieltest eine Gerade, von der das große Dreieck genau das Steigungsdreieck darstellt. Es gilt ja

m = Delta y / Delta x,

also

m = tan(Alpha) / 1 = tan(Alpha).

Brauchst du später in der Differenzialrechnung :))

War es verständlich? Wenn nicht, frag bitte nach!

Kommentar von werweisswasokay ,

Wow und wie verständlich. super erklärt. hast mich ein großes stück weiter gebracht danke :)

Kommentar von DieChemikerin ,

Das freut mich sehr! Gern geschehen :)

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