Wie rechnet ein Taschenrechner Sinus, Cosinus und Tangens aus?

Tangens ist einfach nur Sinus durch Cosinus.

Sowohl Sinus als auch Cosinus lassen sich als unendliche Summe darstellen:

sin(x) = Summe über (-1)^k * x^(2k+1)/((2k+1)!) mit Index k von 0 bis unendlich.

cosinus so ähnlich.

Der Taschenrechner rechnet also ein paar Werte aus und beschließt: Der Rest ist so klein, der interessiert mich nicht weiter.
Zumindest macht er dass, wenn er dir das Ergebnis anzeigt. Besondere Werte wie sin/cos von 0, pi/4, pi/3, 2pi/5, pi/2 2pi/3 usw sollte er exakt gespeichert haben und mit dem exaktem Wert weiterrechnen.
Gute Taschenrechner behalten immer zu das exakte Ergebnis, sie berechnen die Summe also nur zur Anzeige.

Das wurde einprogrammiert.

Der Taschenrechner berechnet in Wahrheit nur eine drei Winkelfunktionen aus. Nun weiss ich nicht genau, welche das ist. Ich vermute, dass es der Tangens ist. Es gibt einfache Formeln mit denen man  danach aus dem Tangens, die jeweils wirklich interessierende Funktion ausrechnen kann.

Nun bleibt aber immer noch die Frage, wie der Taschenrechner den Tangens ausrechnet? Die landläufige Meinung ist, dass das über die Taylorreihen gemacht wird. Jedenfalls lernt man in der Schule oder im Studium, dass man mit Taylorreihen höhere Funktionen nachbilden kann.

Die Taylorreihen (sind auch bloss Potenzreihen) haben aber die Eigenschaft, dass sie ungleichmässig konvergieren. Einen Tangenswert in der Umgebung der Nullpunkts zu berechnen, geht recht flott. Nach ein bis fünf Gliedern der Taylorreihe ist man am Ziel. Das heisst der Zahlenwert liegt in der maximal mit dem Taschenrechner erzielbaren Genauigkeit, meist zehn Nachkommastellen, vor.  In der Umgebung von 90° bräuchte man aber mit den Taylorrreihen schon mehrere hundert Glieder um dem Genauigkeitsanspruch des Nachkommastellendisplays zu genügen. Würden der Taschenrechner wirklich Taylorreihen verwenden, dann müsste man schon ein Sekündchen warten bis er den Tangens von 89,5° errechnet hat.

In Wahrheit wird er so genannte CORDIC Algorithmus verwendet. Dieser ist in Wikipedia sehr schön erklärt. Ganz grob kann man das mit einem Interpolationsalgorithmus erklären, der bestimmte Additionstheoreme, die für Winkelsummen bzw. Winkeldifferenzen gelten, ausnutzt. Man hangelt sich von dem Funktionswert eines bekannten Winkels mit immer kleineren Schrittweiten iterativ zu dem Zielwinkel für den man den Funktionswert berechnen will. Dabei wird die Winkelschrittweite jeweils halbiert. Bei der Anwendung der Additionstheoreme kommt es dann mit jedem Iterationsschritt nur noch zu einfachen Multiplikationen und Additionen. Vorteil: Jeder Funktionswert wird gleich schnell berechnet. Zweiter Vorteil: Die Schrittweitenhalbierung  der Art 1/2^n passt ideal zum Konzept des binären Rechnens, das im Taschenrechner ohnehin ablaufen muss.

Noch ein Tipp: Wer selbst einmal mit Taylorreihen herumspielen will oder gar den CORDIC-Algorithmus mal nachsimulieren will, muss daran denken, dass hier alles in Bogenmass (RADIAN) gedacht und gerechnet wird.

Taschenrechner waren mir schon immer ein Rätsel

Meinst du technisch, oder wie man ihn dafür bedient?