Bitte helft mir möglichst schnell bei einer Matheaufgabe?

ich würde mich sehr freuen wenn ihr mir bei der Aufgabe e) helfen könntet. Ich weiß leider gar nicht wie ich das rechnen soll und was ich für Werte brauche. Wäre wirklich toll, wenn mir jemand diese Aufgabe vorrechnen könnte!

Danke an alle die helfen!

Comments

[ghul666]

Hast du a) bis d) schon erledigt?

[Lisa19165]

Ja, bloß bei der d) bin ich noch nicht ganz fertig und sicher.

Answer 1

[ghul666]

Zunächst mal haben wir hier eine konkrete Funktion aus der Schar (t=0,5), also:

$f\left(x\right)=\left(x+\frac{1}{0,5}\right)\cdot e^{-0,5x}=\left(x+2\right)\cdot e^{-0,5x}$

Außerdem haben wir eine quadratische Funktion mit ihrem Scheitel im Ursprung, also keine Verschiebung auf x- oder y-Achse. Die sieht dann so aus:

$g\left(x\right)=ax^2$

Nun schneiden sich diese beiden Funktionen im Punkt P(1;f(1)). Berechnen wir diesen Punkt: $f\left(1\right)=\left(1+2\right)\cdot e^{-0,5\cdot1}=3e^{-0,5}=\frac{3}{e^{0,5}}$

Unser Punkt lautet also: P(1;3/e^0,5)

Setzen wir diesen Punkt in unsere quadratische Gleichung ein:

$g\left(1\right)=a\cdot1^2=a=\frac{3}{e^{0,5}}$

Unsere quadratische Gleichung lautet also:

$g\left(x\right)=\frac{3}{e^{0,5}}x^2$

Im Folgenden benötigen wir für den Rotationskörper die Formel:

$pi\cdot\int\left(\frac{3}{e^{0,5}}x^2\right)^2dx\$

in den Grenzen 0 und 1. Ergibt:

$pi\cdot\int\frac{9}{e}x^4dx$

Also:

$pi\cdot\left[\frac{9}{5e}x^5\right]$

in den Grenzen 0 und 1.

Eingesetzt ergibt das:

$pi\cdot\left[\left(\frac{9}{5e}\cdot1^5\right)-\left(\frac{9}{5e}\cdot0^5\right)\right]=pi\cdot\frac{9}{5e}=\frac{9}{5}\cdot\frac{pi}{e}$

Ergibt ca. 2,08 kubische Einheiten als Volumen.

Diese Antwort erhebt keinen Anspruch auf Korrektheit und/oder Vollständigkeit.

PS: Sollte der Rotationskörper (nicht eindeutig formuliert) den Bereich zwischen den beiden Funktionen meinen, wäre das zu bildende Integral aus der Differenzfunktion der beiden zu bilden, also:

$f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+2\right)\cdot e^{-0,5x}-\frac{3}{e^{0,5}}x^2$