Zunächst mal haben wir hier eine konkrete Funktion aus der Schar (t=0,5), also:
Außerdem haben wir eine quadratische Funktion mit ihrem Scheitel im Ursprung, also keine Verschiebung auf x- oder y-Achse. Die sieht dann so aus:
Nun schneiden sich diese beiden Funktionen im Punkt P(1;f(1)). Berechnen wir diesen Punkt:
Unser Punkt lautet also: P(1;3/e^0,5)
Setzen wir diesen Punkt in unsere quadratische Gleichung ein:
Unsere quadratische Gleichung lautet also:
Im Folgenden benötigen wir für den Rotationskörper die Formel:
in den Grenzen 0 und 1. Ergibt:
Also:
in den Grenzen 0 und 1.
Eingesetzt ergibt das:
Ergibt ca. 2,08 kubische Einheiten als Volumen.
Diese Antwort erhebt keinen Anspruch auf Korrektheit und/oder Vollständigkeit.
PS: Sollte der Rotationskörper (nicht eindeutig formuliert) den Bereich zwischen den beiden Funktionen meinen, wäre das zu bildende Integral aus der Differenzfunktion der beiden zu bilden, also: