Beweis unendlich viele Lösungen Gleichung?
Ich brauche noch einmal eure tolle Unterstützung: ich soll für jedes fest gewählte n beweisen dass die gleichung x^2+y^2=z^n (x,y,z elemt NN) unendlich viele Lösungen hat. Wie muss ich da vorgehen?
3 Antworten
Ich würde eine Fallunterscheidung machen, für n gerade und für n ungerade.
Dann geht das wie folgt:
n gerade: Es gibt das pythagoräische Tripel 3²+4² = 5². Für jede Zahl k ist dann auch 3k, 4k, 5k ein pythagoräisches Tripel, denn
(3k)² + (4k)² = 3²k² + 4²k² = (3²+4²) k² = 5² k² = (5k)².
Jetzt habe ich also schon mal unendlich viele Lösungen für n=2.
Sei nun n gerade mit n=2m.
Für jede Lösung (x,y,z) der Gleichung x²+y² = z² gilt
(x * z^(m-1))² + (y * z ^(m-1))² = x² * z^(2m-2) + y² * z^(2m-2)
= (x² + y²) * z^(2m-2) = z² * z^(2m-2) = z^(2m) = z^n
- und so finde ich eine Lösung für jedes gerade n.
n ungerade: Eigentlich genau so, aber ich gehe statt von einer Lösung von x²+y² = z² von einer Lösung von x²+y² = z aus.
Ich kann immer z als Faktor vor x und y schreiben und ausklammern - und komme so zu unendlich vielen Lösungen.
Ich würde zunächst zeigen, dass wenn c und r jeweils Summe zweier Quadrate sind, dann auch das Produkt. Ist nämlich
c = a² + b² und r = p² + q² ,
so ist
rs = (ap-bq)² + (aq+bp)²
Wenn also z Summe zweier Quadrate ist, dann auch z^2, und dann auch z^3, also (formal durch Induktion) auch z^n.
Jetzt genügt es einzusehen, dass es unendlich viele z gibt, die Summe zweier Quadrate sind. Für jedes natürliche k ist z = 1+k^2 Summe zwei Quadrate, das sind unendlich viele.
Falls sich [constiEinstein] wundert, wie er zu dieser Erkenntnis gelangt:
Satz. Sei Q₂ die Menge der ganzen Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen. Dann ist Q₂ unter Multiplikation stabil.
Beweis. Seien r, s ∈ Q₂. Per Definition existieren p, q, a, b ∈ ℤ, so dass r = p² + q² und s = a² + b². Man beobachtete, dass
r = p² + q² = |p+ιq|² = |z|², wobei z=p+ιq.
s = a² + b² = |a+ιb|² = |w|², wobei w=a+ιb.
Daher lässt sich das Produkt der zweien Quadratzahlen wie folgt darstellen:
r·s = |z|²·|w|² = |zw|²,
Da z, w ∈ ℤ+ιℤ, welches offensichtlich unter Multiplikation stabil ist (in der Tat den Ring ℤ[ι] bildet), gilt ebenfalls zw ∈ ℤ+ιℤ. Das heißt, zw = c + ιd für ein c,d∈ℤ. Darum gilt
r·s = |zw|² = |c+ιd|² = c² + d².
Also ist r·s ∈ Q₂. Daher ist Q₂ unter Produkten abgeschlossen. QED.
Was ist n?
Wenn n=2, ist das einfach: finde eine nicht triviale Lösung, z. B. (x;y;z) = (3; 4; 5) und betrachte die Menge {k·(x;y;z) | k∈ℕ}. Dies ist unendlich und enthält nur Lösungen. Das ist aber trivial, denn alle Lösungen in dieser Menge sind Vielfache voneinander. Man kann jedoch zeigen, dass es uendliche viele Lösungen gibt, die nicht paarweise vergleichbar sind (als Vielfache).
In der Tat bildet
{(u²–v²; 2uv; u²+v²) | u,v ∈ℕ, u≥v, ggT(u,v)=1}
die Menge aller Pythagoreanischen Tripel (bis auf Permutation und Vorzeichen), die „primitiv“ sind (kein Vielfach eines anderen Tripels.
Diese Menge ist offensichtlich abzählbar unendlich groß.