Beweis für 2+2=5
Ich habe mal irgendwo einen Beweis für 2+2=5 gelesen. Klar da war ein Fehler drin aber die meisten Leute sehen diesen Fehler nicht und glauben am Ende 2+2=5. Kennt ihr diesen Beweis und könnt ihn mir kurz aufschreiben oder einen Link dazu schicken? Ich möchte damit mal meinen Mathe Lehrer Testen.
8 Antworten
Um so einen Beweis zu führen, muss man einen nicht so offensichtlichen Trugschluss einbauen. Ich kenne so einen für 7 = 5.
4a = 6b, das wäre bespielsweise bei a=3 und b=2 wahr. Warum also nicht? Ich rechne weiter
14a - 10a = 21b - 15b
14a - 21b = 10a - 15b
7 (2a - 3b) = 5 (2a - 3b) .....| : (2a-3b)
7 = 5
???????
Wenn man die Verbote der Mathematik kennt, vermutet man alsbald, dass da eine Division durch Null vorgelegen hat. Die einzige Division ist die durch (2a-3b). Also gesetzt
2a - 3b = 0 ...| * 2
4a -6b = 0
4a = 6b
Das genau ist aber die Voraussetzung (siehe oben). Unter der Prämisse darf man durch (2a-3b) nicht teilen.
der Fehler:
((-1/2)^3)^(2/6) = ((-1/2)^2)^(3/6)
das geht nicht.
Es gibt etwas in der Physik etwas mehr interessant, denn die mathematischen Tricks alle ziemlich durchschaubar sind. Einige Physiker tragen ein Hemd mit der Schrift
2 + 2 = 5 für extrem große Werte von 2.
Zahlen werden nicht als statische Größen betrachtet, sondern Objekten, die schwankende Eigenschaften Aufweisen. Entweder das oder Addition als dynamischen Vorgang betrachtet wird, während dessen sich aus der Zusammensetzung der Teilen eventuell etwas neues ergibt.
Wenn's ein guter Mathelehrer und keine Niete ist, wird er sofort sehen, was bei der Antwort von "ElRav" los ist:
4 = 2*2 |: 2
2 = 1*1
... da er wahrscheinlich schon hunderte Klassenarbeiten korrigiert hat, bei denen dieser Fehler aufgetaucht ist!
(-1/2) = (-1/8)^(1/3)
... (Antwort von "hintermwald") ist nicht ganz so leicht ersichtlich, dass es falsch ist, so dass der Lehrer diesen Fehler übersehen könnte!
Da (2/6) dasselbe ist wie (1/3) gilt natürlich (-1/8)^(1/3) = (-1/8)^(2/6).
Allerdings ist für reelle Zahlen (-1/8)^(1/3) gar nicht definiert. Und für komplexe Zahlen gilt:
(-1/8)^(1/3) = 1/4 + i*wurzel(3)/4
und eben nicht:
(-1/8)^(1/3) = -1/2
Tut mir Leid, aber das mit den Komplexen Zahlen ist zu komplex für mich.
(-1/8)^(1/3) müsste doch dasgleiche sein wie ∛(-1/8) und dass müsste doch -1/2 sein, weil (-1/2)(-1/2)(-1/2) = -1/8.
(-1/8)^(2/6) geht hingegen nicht, bzw. ist nicht dasselbe, denn 6.√((-1/8)²) = +1/2, aber 6.√(-1/8) ² ist -1/2.
Deswegen ist ^(1/3) nicht dasselbe wie ^(2/6).
Eigentlich ganz einfach - man kann es auch ohne komplexe Zahlen erklären - wenn man anstatt der dritten Wurzel die Quadratwurzel nimmt (bei anderen Wurzeln - wie der dritten Wurzel - muss man dann allerdings komplexe Zahlen bemühen):
Obwohl (-2)^2=4 ist, ist 4^(1/2) nicht -2, sondern +2. Die meisten Potenzregeln gelten nämlich nur bei positiven Basen.
Im folgenden Beispiel wird derselbe Rechenfehler gemacht wie im Comic, allerdings ist er hier etwas besser zu sehen, da keine komplexen Zahlen notwendig sind:
x = a
x = a^(2/2)
x = (a^2)^(1/2) <- (1)
x = ((-a)^2)^(1/2)
x = (-a)^(2/2) <- (2)
x = -a
So könnte man ganz leicht "beweisen", dass für jede Zahl a=(-a) gilt!
Wo liegt der Fehler?
Ganz einfach: Zeile (1) gilt nicht für negative und Zeile (2) nicht für positive Werte von a.
Noch ein Nachtrag:
Da der Inhalt von Klammern immer ausgerechnet wird, bevor die Rechenoperationen außerhalb der Klammern ausgeführt werden, ist a^(1/3) schon mal per Definition dasselbe wie a^(2/6), egal welchen Wert a hat - schließlich ist 2/6 dasselbe wie 1/3.
Der eigentliche Denkfehler liegt woanders:
Die Gleichung "x^n=y" hat (für y ungleich 0) immer n unterschiedliche Lösungen. Falls n ungerade ist, ist genau eine dieser Lösungen reell, während (n-1) Lösungen komplex sind.
y^(1/n) hat hingegen - wie ich bereits im ersten Kommentar geschrieben habe - immer genau einen Wert: 4^(1/2) ist eben +2 und nicht -2, obwohl (-2)^2=4 gilt.
Der Fehler, den man sehr schnell macht, ist anzunehmen, dass es sich beim Wert von y^(1/n) immer um die reelle Lösung der Gleichung handelt - schließlich ist nur eine der n Lösungen reell. Dies ist aber nicht der Fall!
Okey, alles verstanden! Danke für die wirklich ausführliche, dennoch einfache Erklärung.
Dein erster Kommentar betrifft ja gaaanz weit gedacht meinem Gedanken, dass man die 2 aus dem Exponenten nicht einfach unter die Wurzel führen darf. Berechnet man nämlich zuerst die Wurzel und lässt Komplexe Zahlen zu, kommt das Gleiche heraus.
Die Gleichung "x^n=y" hat (für y ungleich 0) immer n unterschiedliche Lösungen.
Sicher, dass es unterschiedliche Lösungen sein müssen? x³ = 0 hat doch nur 0 als (dreifache) Lösung, oder?
Daher habe ich ja auch "für y ungleich 0" geschrieben.
Sowas kann passieren, wenn du Zwischenergebnisse rundest. Wenn du einmal als Zwischenergebnis 2,499 heraus hast und einmal 2,489, dann sind die Einzelwerte gerundet 2 und 2 und ergeben in der Summe 4. Wenn du aber erst die Summe rundest, dann erhältst du 2,499 + 2,489 = 4,988 und das ist gerundet 5.
Deswegen musst du solange wie möglich mit Variablen arbeiten, die Werte erst im letzten Schritt einsetzen und dann runden.
Den beweis das 2+2= 5 gibt es nicht weil 2+2= 4 das ist der beweis
Nur interessehalber, wo ist denn der Fehler in
WolframAlpha sagt (∛-1)/2.
Das ist doch -1/2 ?!?
Ich habs mir jetzt angeschaut. ^(1/3) müsste etwas anderes sein als ^(2/6)