Beispiel Laurententwicklung Hauptteil?

Hallo,

Von folgender Funktion soll der Hauptteil der Laurententwicklung bezüglich der Singularität z=-pi angegeben werden:

Mir ist klar das es sich um einen Pol 2. Grades handelt und der Hauptteil daher nur 2 Glieder hat. Meine Überlegung war zuerst eine Taylorentwicklung vom cos(z) zu machen und dann eine Art Gleichungssystem zu erstellen, jedoch hatte ich keinen Erfolg.

Habt ihr eine Idee wie man das Ganze lösen könnte?

Answer 1

[ProfFrink]

Folgenden Vorschläge fallen mir ein. Der Cosinusterm im Zähler kann mit einem Additionstheorem angepasst werden.

$\cos\left(z\right)=-\cos\left(z+\pi\right)$ Wenn Du davon eine Taylorreihe machst, dann kann das leichter mit den Termen in Nenner verrechnet werden.

Der Nenner lässt sich umschreiben:

$\left(z^2-\pi^2\right)\cdot\left(z+\pi\right)=\left(z-\pi\right)\cdot\left(z+\pi\right)^2$ Weiter könnte man eine Partialbruchzerlegung machen und damit den Term der (z-pi) enthält abspalten

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung