Dreifachintegral-Zylinder?
Hallo, ich hätte eine Frage bezüglich folgender Frage:
Gegeben sei ein Zylinder, dessen Rotationsachse die z-Achse ist und der einen Radius von r = 3 und eine Höhe von z = 0 bis z = 5 besitzt. Dieser bildet den Integrationsbereich D. Machen Sie eine Skizze von D und berechnen Sie das Dreifachintegral R R R D f(x, y, z) dx dy dz, wobei f(x, y, z) = x²y + z. Machen Sie dazu zuerst eine Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten.
Das Problem hierbei besteht nun darin, dass ich nicht weiß ob das Volumen verlangt ist oder einfach nur die Fläche unter der Funktion f(x,y,z)=x²y+z dxdydz. Würde ich nämlich nur vom Integrationsbereich D ausgehen (also den Flächeninhalt) bekomme ich bei der Transformation mit Hilfe der Jacobideterminante und nach dreifachem Integrieren 45pi raus. Sollte ich jedoch nur von einer Fläche unterhalb der Funktion f(x,y,z)=x²y+z dxdydz ausgehen, so setze ich für x= r*cos(phi) y= r*sin(phi) und z=z ein. Nach dreifachem Integrieren komme ich dann auf 75 pi raus. Ich verstehe aber jetzt nicht, was von den beiden von mir hier verlangt wird.
2 Antworten
Vielleicht verstehe ich die Frage nicht, die Aufgabe geht m.E. darum, die Funktion f(x, y, z) = x²y + z über D zu integrieren. D.h. Transformation in Zylinderkoordinaten und ausrechnen. Über die Interpretation als Fläche würde ich mir keine Gedanken machen.
Genau, Transformation in Zylinderkoordinaten und nacher über D berechnen/integrieren. Mir ist es nur darum gegangen, wie das ganze nachher als Skizze ausgesehen hätte. Wir haben dies aber schon in den Übungen besprochen gehabt.
also da steht doch „R R R D“... das könnte doch bedeuten, dass du über den Integrationsbereich D integrieren sollst, wobei D der Zylinder ist... so ganz kann ich es mir nicht vorstellen...
oder was steht da genau?
hier ist n Bildchen (das ist allerdings nur 3D... f(x,y,z) hört sich iwi 4D an...)...
Genau diese Form war bei einem anderen Beispiel dann, dort wurde auch speziell das Volumen abgefragt. Dann heißt es doch normalerweise dass das Volumen in diesem Beispiel nicht gesucht ist ( weil ja statt dem V bei den Integralgrenzen ein D steht) sondern die Fläche unter der Funktion f(x,y,z) oder? Somit würde statt f(x,y,z)= x^2y+z dxdydz normalerweise f(r,phi,z)=r^3*cos(phi)^2*sin(phi)+z drdphidz stehen ( also in Zylinderkoordinaten). Habe ich das jetzt so richtig verstanden?
Also sollte dass Ergebniss dann 75 pi sein? Hör zum ersten Mal von einem Integralzeichen mit Kringel in der Mitte. Naja liegt vielleicht daran dass wir bis jetzt immer Flächen ausgerechnet haben,ist die erste Aufgabe zu solch einem Thema, kann sein dass ich mich mit dem Begriff Fläche dann vertan habe.
also ich hab da so meine Probleme mir diese Fläche vorzustellen... vielleicht findet sich was im Lehrbuch, das genauso wie die Frage aussieht? gibt es noch den Heuser?
das mit den Zylinderkoordinaten hast du hingekriegt?
dann integrier doch einfach diese Zylinderkoordinaten-Darstellung über D... und fertig...
Es hat insgesamt halb gestimmt. Die Transformation und Integration war richtig, das einzige was noch gefehlt hat war das Volumemnelement für den Zylinder, das heißt also die Jacobimatrix erstellen und mit der transformierten Funktion multiplizieren und integrieren( das heißt du hast unter dem Integral dein f(r,phi,z)*r drdphidz stehen). Also im Prinzip hat nur noch bei der Transformation das Volumemnelement gefehlt. Und natürlich ist es nicht schlimm wenn es falsch ist, Übung macht ja schließlich den Meister ;)
Das ist leider schon die ganze Angabe. Das Problem hier ist nun nur ob das Volumen des Integrales verlangt wird oder nur das Dreifachintegral über D. Weil würde ich nämlich das Volumen berechnen wollen, transformiere ich die Funktion von f(x,y,z)=x^y+z dxdydz zu f(r,phi,z)=r drdphidz ( mit der Jacobideterminante berechnet). Andererseits wandle ich die Kartesischen Koordinaten "normal" in Zylinderkoordinaten um. Die Grenzen von den Integralen sind mir auch schon bekannt, aber das Problem liegt hier nur bei der Transformation bzw. was genau verlangt wird. Und die Funktion sollte im 3 Dimensionalen sein.