Aussage ganzrationale funktionen?

Warum ist diese Aussage falsch?

Hat f' auf dem Intervall I keine nullstelle, so hat f keine extremwerte in I.

Answer 1

[mihisu]

Wenn es kein offenes Intervall ist, kann es Randextrema geben.

Beispiel:

$I=\left[2; 3\right]$

$f:\ I\to\mathbb{R},\quad x\mapsto 5x+8$

$f'(x)=5\ne 0\ \text{ für alle }x\in I$

f(x) hat ein Minimum bei x = 2. f(x) hat ein Maximum bei x = 3.

Comments

[Noma643]

Was ist denn ein randmaximum?

[mihisu]

@Noma643

Ein Maximum, das am Rand des Definitionsbereichs auftritt.

Im konkreten Beispiel in meiner Antwort ist die Funktion auf dem Intervall [2; 3] definiert. Und die beiden Stelle x = 2 und x = 3 liegen am Rand dieses Definitionsbereichs.
An der Stelle x = 3 liegt ein Maximum der Funktion mit dem Wert 23, da es in einer Umgebung um x = 3 (bzw. hier sogar sonst im gesamten Definitionsbereich) keinen größeren Funktionswert als 23 gibt. Da die Maximumstelle am Rand des Definitionsbereichs liegt, handelt es sich um ein Randmaximum.

[Noma643]

@mihisu

Danke.