Ableitung mit Kettenregel?

Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären, wie man die Ableitung dieser Funktion mit der Kettenregel bildet?

f(x)= (sin(ax))^2

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

äußere mal innere Ableitung:

2*sin (ax)*cos (ax). Da auch die innere Ableitung noch einmal verkettet ist, muß das auch noch mit der Ableitung von ax, also mit a multipliziert werden:

2a*sin (ax)*cos (ax).

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[evtldocha]

Eigentlich brauchst Du hier 2-mal die Kettenregel - aber Achtung: Niemand würde das je so kompliziert zu Papier bringen, weil auch hier die Übung den Meister macht und man in diesem Fall alles im Kopf machen kann.

Erste Anwendung der Kettenregel: $g\left(x\right)=\sin\left(ax\right)$

Dann ist: $f\left(x\right)=\left(g\left(x\right)\right)^2\to f'\left(x\right)=\frac{d}{dg}g^2\cdot\frac{d}{dx}g\left(x\right)=2\cdot g\cdot\frac{d}{dx}g\left(x\right)$ $=2\cdot\sin\left(ax\right)\cdot\frac{d}{dx}\sin\left(ax\right)=2\cdot\sin\left(ax\right)\cdot g'\left(x\right)$

Bleibt also g'(x) zu bestimmen und damit:

Zweite Anwendung der Kettenregel: $h\left(x\right)=ax\ \to h'\left(x\right)=a$

Dann $g\left(x\right)=\sin\left(h\left(x\right)\right)\ \to g'\left(x\right)=\frac{d}{dh}\sin\left(h\right)\cdot\frac{d}{dx}h\ =\cos\left(h\right)\cdot a=\cos\left(ax\right)\cdot a$

Insgesamt ergibt sich: $f'\left(x\right)=2\cdot a\cdot\sin\left(ax\right)\cdot\cos\left(ax\right)$

Answer 3

[Rammstein53]

Wenn man die Kettenregel vermeiden kann, dann sollte man das tun:

sin(x)*sin(y) = 1/2 * (cos(x-y) - cos(x+y))

Daraus folgt:

sin(a*x)*sin(a*x) = 1/2 * (1 - cos(2*a*x)) = 1/2 - 1/2 * cos(2*a*x)

Die Ableitung ist daher :

1/2 * ( 2a*sin(2*a*x) ) = a*sin(2*a*x)