Ableitung im mehrdimensionalen?
Auf dem Bild geht es um Ableitungen im mehrdimensionalen. Als Beispiel ist dort sin(x) gegeben. Warum jedoch ist die Ableitung im mehrdimensionalen Gerade cos(xo)*x?
Ich habe es bisher so verstanden, dass die Ableitung gerade die jacobi Matrix ist (jedenfalls in de meisten Fällen). Woher kommt also das x und warum ist die Ableitung nicht mit dem eindimensionalen Fall gleich?
wie wäre denn zb dann die Ableitung von:
f: R^2->R^2 , (x,y)-> (x^2+y , 2y^3) ?
1 Antwort
Hallo. Noo, da liegt ein Missverständnis vor.
Die Ableitung einer (geeigneten) Funktion, die von einer offenen Teilmenge des R^n nach R^m abbildet, ist eine lineare Abbildung, die diese Funktion lokal linear approximiert.
Eine lineare Abbildung hat aber, wenn du Basen wählst, eine Entsprechung in Form einer Matrix. Und eine solche (mxn) Matrix wirkt nun auf einen entsprechenden n-dimensionalen Vektor.
In dem eindimensionalen Fall ist die Ableitung/Jacobi-Matrix eine 1x1 Matrix. Oder anders formuliert, handelt es sich um einen Skalar. Und was du tust, ist mit dieser Matrix (d.h. cos(x_0)) auf einen Punkt x zu wirken.
Die Anschauung ist die, dass
f(x) = f(x_0+(x-x_0)) = f(x_0) + Df(x_0)(x - x_0)
in erster Ordnung gilt. Du linearisierst also eine (vielleicht oder vielleicht auch nicht) unfreundliche Funktion f an einer Stelle x, indem du die Ableitung in x_0 verwendest. Die Approximation wird umso besser, je näher x bei x_0 liegt. Das Df(x_0) ist dabei eine „Maschine“, die Werte entgegen nimmt und dafür das richtige Offset berechnet.
Wenn wir im Eindimensionalen sind, kannst du die Gleichung auch umstellen zu
f(x) - f(x_0) = Df(x_0)(x - x_0).
Teilst du beide Seiten durch (x-x_0), hast du links einen Differenzenquotienten und rechts die Ableitung Df(x_0) = f'(x_0) stehen. Beachte, dass das nur in erster Ordnung stimmt und für x-> x_0 exakt wird.
Du berechnest die Ableitung in x_0. Dann verwendest du diese Ableitung, um deine Funktion an einer Stelle x auszuwerten (oder eher anzunähern), die nicht notwendigerweise x_0 ist. Ich denke, suggestiv ist es, wenn man Folgendes schreibt:
(Df(x_0))(x) = cos(x_0) * x,
d.h. in deinem Beispiel wird Df(x_0) mit cos(x_0) und nicht mit cos(x_0) * x identifiziert.
Aber was ist jetzt der Unterschied zwischen x und xo?