f(x) = y = 3^x

Daraus folgt:

ln(y) = ln(3^x) = x*ln(3)

ln(y) ist nur für y > 0 definiert. Dementsprechend sind die reellen Zahlen > 0 deine Wertemenge.

Weiterhin folgt aus ln(y) = x*ln(3) für y > 0:

x = ln(y)/ln(3)

Dementsprechend ist deine Umkehrfunktion: f^(-1)(x) = ln(x)/ln(3) wobei hier der Definitionsbereich der Funktion natürlich wieder die reellen Zahlen > 0 ist.

Die Welt geht von so etwas nicht unter. Man sollte aber daraus lernen bzw. erkennen, wo die eigenen Stärken und Schwächen liegen und anschließend aktiv etwas dafür die tun, dass die schlechten Noten nicht allzu häufig vorkommen.

Verwende, dass A -> B äquivalent zu (not A) or B ist.

Löse damit zuerst alle Implikationen auf.

Überlege dir dann, wie du (¬A∧C)∨¬(A∨B) vereinfachen kannst.

Ich habe nun noch einmal den vollständigen Beweis ausgearbeitet:

http://www.docdroid.net/wtTxrUP/teilbarkeit.pdf.html

Hallo!

Falls dich wirklich nur die Lösungen interessieren:

1. x -> 1, y -> 1
   
2. x -> 1, y -> 2
   
3. x -> 2, y -> 1
   
4. x -> 2, y -> 3
   
5. x -> 3, y -> 2
   

Dass es auch keine weiteren Lösungen geben kann, kann man sich mathematisch relativ leicht überlegen.

Sei k eine ganze Zahl >= 0 und seien x,y ganze Zahlen > 0.

Dann ist deine Forderung erfüllt, wenn gilt:

(x+y+1) = k * x * y

<=> y = (x+1)/(k*x-1) für k*x-1 ungleich 0

Da y eine ganze Zahl > 0 sein soll, muss gelten:

x+1 >= k*x-1

<=> x - k*x >= -2

<=> x*(1-k) >= -2

Hier müssen wir nun mehrere Fälle unterscheiden.

Ich unterlasse hier jedoch die vollständige Unterscheidung und konzentriere mich auf den relevanten Fall.

Sei k > 1. Dann gilt 0 > 1-k und somit:

x*(1-k) >= -2

<=> x <= -2/(1-k)

x soll ebenfalls eine ganze Zahl > 0 sein.

Dementsprechend muss gelten:

-2/(1-k) >= 1

<=> -2 <= 1-k

<=> k <= 3

Zusammenfassend kann es nur für k=0, k=1, k=2 und k=3 Lösungen geben.

Anders ausgedrückt:

Überprüfen muss man nur die 4 Gleichungen:

1. (x+y+1) = 0
   
2. (x+y+1) = x * y
   
3. (x+y+1) = 2 * x * y
   
4. (x+y+1) = 3 * x * y
   

Nun kann man wieder mit einfachen zahlentheoretischen Mitteln zeigen, dass die von mir anfangs genannten Lösungen tatsächlich die einzigen sind.

Ich nehme einfach mal c).

Zuerst kann man relativ offensichtlich sehen, dass man die 3 ausklammern kann.

Somit:

6ax+3by+6ay+3bx = 3*(2ax+by+2ay+bx)

Nun klammern wir x und y aus.

3*(2ax+by+2ay+bx) = 3*(x*(2a+b)+y*(2a+b))

Wir klammern (2a+b) aus.

3*(x*(2a+b)+y*(2a+b)) = 3*((2a+b)*(x+y)) = 3*(2a+b)*(x+y)

Hallo,

hast du die Formel (1+2+...+n) = n*(n+1)/2 schon zur Verfügung?

Tipp:

-3 = -3*x^0 für x ungleich 0...

Nun kannst du verwenden, dass gilt: (1/(n+1)*x^(n+1))' = x^n

Es gibt hier kein "Problem".

x^2 >= 0 gilt für alle x € R.

Dementsprechend ist auch (x-y)^2 >= 0 für alle x,y € R.

Und sqrt(0) = 0, da ist auch nichts undefiniert.

Könntest du bitte die vollständige Aufgabenstellung angeben?

Die Frage ist zu unkonkret, um sie vernünftig beantworten zu können.

Meinst du so etwas hier?

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl#Alternative_Kreiszahl_.CF.84

http://wikis.zum.de/kas/Rotationsintegrale

Alles nur eine Frage der Definition...

Sei 1+2 = 4.

Aber mal Spaß beiseite... Was du meinst, wird in diese Richtung hier gehen: https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher\_K%C3%B6rper#Beispiel:\_Der\_K.C3.B6rper\_mit\_2\_Elementen

Du hast die Gleichung x - 59 = 12 gegeben und möchtest x bestimmen.

Dementsprechend möchtest du dafür sorgen, dass x auf der linken Seite vom Gleichheitszeichen alleine steht.

Deswegen addierst du 59 auf beiden Seiten.

x - 59 + 59 = 12 + 59

<=> x = 71

Kommt mehr Wachs dazu, wenn eine Kerze brennt?

Wohl eher nicht...

Demnach kann nur eine der Antwortmöglichkeiten korrekt sein.

Hallo tommy40629,

bevor ich dir die Frage genauer beantworte, würde ich gerne mit einer Gegenfrage beginnen:

Was bringt dich auf den Gedanken, dass man die Voraussetzung evtl. nur einmal benutzen darf?

Nein, das ist nicht richtig.

Betrachte die rechte Menge und wähle x=4. Nach der Beschreibung der Menge wäre die 7 in der rechten Menge, in der Linken jedoch nicht.

Anderes Beispiel: Die 3 ist in der rechten Menge nicht vorhanden.

Was soll die linke Menge eigentlich beschreiben? Alle natürlichen Zahlen, die durch 3 teilbar sind?

Wenn die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von den reellen Zahlen sind, dann müsste doch 4 auch eine reelle Zahl sein , oder?

Das ist richtig.

Und wenn ich eine irrationale Zahl zum Beispiel mit 10 multipliziere , kommen dann auch rationale Zahl als Ergebnis raus oder wieder nur irrationale?

Unter der Bedingung, dass die rationale Zahl ungleich 0 ist, ja.

Denn es gilt z.B. sqrt(2) * 0 = 0 und 0 ist natürlich rational.

Beweis für diese Aussage:

Sei p/q eine vollständig gekürzte rationale Zahl ungleich 0.

Sei k eine irrationale Zahl.

Annahme: k * p/q ist rational. Dann existieren p', q' € Z mit p'/q' = k * p/q

Das ist jedoch äquivalent zu (p' * q)/(q' * p) = k, was bedeuten würde, dass k rational ist. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass k irrational ist. Demnach ist unsere Annahme falsch und k * p/q ist irrational, was zu beweisen war.

Bitte gib einmal die vollständige Aufgabenstellung an.