Hilfe bei Matheaufgabe, Induktion?

3 Antworten

Ich bezeichne unten (wegen Beschränkungen auf GF.net) mit S₃(n) bzw. S₁(n) die Summen ∑ k³ bzw. ∑ k von k=1…n.

Beweis [… per Induktion : ( …]

IA. Für n=1 gilt S₃(n) = 1³ = 1 = 1² = S₁(n)².

IV. Sei n≥1. Angenommen, S₃(n) = S₁(n)².

IS.

S₃(n+1) = S₁(n+1)²
<==> S₃(n+1) – S₃(n) = S₁(n+1)² – S₁(n)²
… gilt per IV.
<==> S₃(n+1)–S₃(n)
=(S₁(n+1)–S₁(n))(S₁(n+1)+S₁(n))
<==> (n+1)³ = (n+1)((n+1) + 2S₁(n))
<==> (n+1)² = (n+1) + 2S₁(n)
<==> S₁(n) = ½·((n+1)²–(n+1)) = ½·n(n+1)

Bekannterweise gilt die letzte Zeile, also auch die erste. ⊣

Man zeigt zunächst mit vollständiger Induktion, dass

1+2+3+...+n = 1/2 n (n+1)

für alle natürlichen Zahlen n gilt.

Hat man das gezeigt, dann gilt die Identität

(1+2+3+...+n)² = (1/2 n (n+1))² = 1/4 n² (n+1)².

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Hier folgt jetzt aber nur der Beweis der obigen Aussage.

Behauptung: Für alle natürlichen Zahlen n gilt

1³ + 2³ + 3³ +....+ n³ = (1+2+3+...+n)².

Beweis mit vollständiger Induktion über alle natürlichen Zahlen n:

Induktionsanfang: Es ist 1³ = 1 = 1².

Induktionsvoraussetzung: Sei N eine beliebige, aber fest gewählte, natürliche Zahl. Für dieses N gelte

1³ + 2³ + 3³ +....+ N³ = (1+2+3+...+N)².

Induktionsschritt: N -> N+1

Es ist 1³ + 2³ + 3³ +....+ N³ + (N+1)³ =

(1+2+3+...+N)² + (N+1)³ =

( 1/2 N (N+1) )² + (N+1)³ =

1/4 N² (N+1)² + (N+1)³ =

(N+1)² ( 1/4 N² + N + 1 ) =

1/4 (N+1)² ( N² + 4N + 4 ) =

1/4 (N+1)² (N+2)² =

1/4 (N+1)² (N+1+1)² =

( 1/2 (N+1) (N+1+1) )² =

( 1+2+3+...+N+1 )².

q.e.d.

Hallo,

hast du die Formel (1+2+...+n) = n*(n+1)/2 schon zur Verfügung?

Hm, kann ich nicht genau sagen. Es steht auf unserem Arbeitsblatt, welches wir bekommen haben. Ich konnte es damals aber nicht lösen, da die Zeit zu knapp war und nun habe ich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen kann...

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@Arinin

Okay, ich bereite jetzt eine etwas ausführlichere Antwort vor. Das wird ein paar Minuten dauern.

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@swizzorable

Ok, das hilft mir schon um einiges viel weiter :)

Ich wusste ja gar nicht, dass es dafür eine andere Formel gibt....

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