Du brauchst dafür in der Tat das Newtonsche Gravitationsgesetz. Du musst nur, da die Planeten von ihrem Kurs nicht abkommen, die Zentripetalkraft gleich der Anziehungskraft setzen. Die Anziehungskraft erhältst du durchs Newtonsche Grav.-gesetz und die Zentripetalkraft ist m*v²/r.
Dann einfach ein wenig umstellen und kürzen und du erhältst: T²/A³ = const.