kurze antwort: ein durchnitts-bürger könnte es "theoretisch" ...
ausführlich:
die antworten enthalten teilweise wieder sehr viele halbwahrheiten und zeugen von teilweise recht eingeschränkter rechtskenntnis.
vorab, das thema ist recht komplex - ich versuche es so knapp und einfach wie möglich zu halten.
ich unterstelle, dass "schnellfeuerwaffen" in deiner definition "vollautomatische" schusswaffen beschreibt. technisch sind die so definiert, dass mit einmaligem abdrücken mehrere schüsse in folge abgegeben werden können.
grundsätzlich werden solche waffen von zwei gesetzen erfasst: das waffengesetz und das gesetz zur kontrolle von kriegswaffen.
vollautomatische schusswaffen sind in den meisten fällen kriegswaffen (übrigens keine schwere kriegswaffe, aber dem entsprechenden vorposter das zu erklären, würde wohl den rahmen sprengen). zu dieser kategorie kriegswaffen gehören z.b. sturmgewehre, maschinenpistolen, maschinengewehre. genehmigung zum erwerb und umgang für solche waffen erteilt das bundeswirtschaftsministerium (oder eben auch nicht - geht an privatpersonen meines wissens heute gar nicht mehr).
ältere waffen dieser art (vor dem 1.9.1945 militärisch eingeführt) sind keine kriegwaffen mehr - (auch hier gibt es ausnahmen: luftgekühlte maschinengewehre wie ein MG42 oder MG34 sind wieder kriegswaffe). ein beispiel für solche alte maschinenpistolen sind z.b. die deutsche MP40 oder auch die Thompson oder Sten MP. auch das deutsche sturmgewehr 44 gehört dazu. solche waffen fallen nicht unter das gesetz zur kontrolle von kriegswaffen, sondern unter das waffengesetz (waffg).
vollautomatische waffen sind vom waffg verboten (hier zählen auch ganz wenige vorhandene reihenfeuer-pistolen (alte mauser bis zur neueren glock 18). die zuständige behörde für ausnahmen von diesem verbot ist das bundeskriminalamt.
warum dieses ganzes lange gerede von mir? weil es für die beantwortung der frage wichtig ist: in begründeten ausnahmefällen erteilt das BKA nämlich sogenannte ausnahmegenehmigungen. diese ergehen extrem restriktiv in absoluten ausnahmefällen an sammler, sachverständige oder museen. die verfahrenswege sind dafür sehr lang, die auflagen (sammler müssen z.b. bereits eine komplette waffensammlung mit kulturhistorisch bedeutsamen stücken haben wie ein museum) sehr hoch. meiner kenntnis nach gibt es in ganz deutschland nur wenige hundert waffen dieser art in privathand (verglichen mit 7mio legalen und ca. 20mio illegaler schusswaffen ist das nichts).
langer rede, kurzer sinn: es gibt "schnellfeuerwaffen" in privatbesitz. allerdings nur auf ganz wenige personen verteilt. das schießen mit diesen waffen ist übrigens auch diesen wenigen besitzern untersagt. die werden also auch nicht auf einem schießstand auftauchen damit. es sei den, sie haben wieder eine zusätzliche, befristete ausnahmegenehmigung .... das ganze lässt sich beliebig fortsetzen.
verwirrt? das habt ihr mit vielen zuständigen behördenvertretern gemeinsam.
behörden haben es übrigens im täglichen tun mit ihren waffen einfacher. für sie gelten diese gesetze nicht. wenn der dienstherr sagt, hans klein darf die MP 5 mit sich rumtragen, darf er das - ohne "waffenschein" oder "besitzkarte".