Ich hatte vor 2 Jahren das gleiche Problem. Mein Ex hat nach langer Ehe von heute auf morgen seine Sachen gepackt und ist zu seiner so tollen jüngeren Freundin gezogen. Nach dem Auszug hat er gleich die Wohnung gekündigt.
Diese war aber nicht wirksam, da wir beide den Mietvertrag unterschrieben haben und ich der Kündigung nicht zugestimmt habe. Das ganze ist über den Scheidungsanwalt und Anwalt für Mietrecht gelaufen. Mein Ex musst noch 3 Monate anteilig ist Miete zahlen, da dies die normale Kündigungsfrist für eine Wohnung ist.
Über meinen Anwalt haben wir dann eine "Vereinbarung zum Mieterwechsel" geschlossen, welche es ermöglichte, dass er aus dem Vertrag raus war, ich den Vertrag aber zu den alten Bedingungen (also wie bei Vertragsabschluss beim Einzug von uns beiden) weiterführen konnte. Ich hatte das Glück, das mein Vermieter mit der Vereinbarung einverstanden war.
Da mein Ex sehr unzuverlässig war/ist wurde die Miete immer komplett von mir überwiesen und seine anteiligen 3 Monate hat er nach mehrmaliger Aufforderung durch den Anwalt dann an mich gezahlt. Sollte bei deiner Ex diese Unzuverlässigkeit auch bestehen, dann mußt du die Miete erstmal komplett selber zahlen, ansonsten kann euch der Vermieter wegen fehlender Mietzahlungen die Wohnung kündigen. Wie andere schon geschrieben haben, steht ihr beide in der Pflicht und dem Vermieter ist es gleich wer von beiden die monatliche Miete zahlt, hauptsache er hat pünktlich sein Geld auf dem Konto. Die Anteilige Zahlung der 3 Monate deiner EX müßt ihr dann im Innenverhältnis klären, zur Not über einen Anwalt, wenn keine Einigung zwischen euch möglich ist.