Hallo!
- Wenn willkommen am Satzanfang steht, muss es groß geschreiben werden, sonst immer klein.
- zu Hause existiert in den Verbindungen kleines zu und großes Hause, oder eben als Substantiv das Zuhause, und seit der Neuen rechtschreibung auch als zuhause
Daher gehen die Möglichkeiten:
- willkommen zu Hause
- Willkommen zu Hause (Satzanfang)
- willkommen Zuhause
- Willkommen Zuhause (Satzanfang)
- willkommen zuhause
- Willkommen zuhause (Satzanfang)
Bei den letzten beiden Alternativen, also mit dem kleinen zuhause, würde ich als Leser aber stutzen.
Was nicht geht, ist kleines zu und kleines hause wie in deiner Frage.