Hallo Cupcakefan77, konkret unter "Satz vom Nullprodukt" habe ich in meiner Literatur nichts gefunden. Ich nehme aber an, daß darunter zu verstehen ist: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Wie das von Ellejolka schon richtig dargestellt wurde, lässt sich zum Auffinden der Nullstellen der Funktion der Term auf der rechten Gleichungsseite in zwei Faktoren zerlegen. Für die Nullstellen gilt ja f(x) = x² - 8 = 0. Du kennst sicher die Zerlegung des Binoms a² - b² = (a + b)(a - b). Entsprechend gilt x² - 8 = 0 <=> [x + sqr(8)][x - sqr(8)] = 0. Das Produkt der beiden eckigen Klammern ist genau dann null, wenn x + sqr(8) = 0 oder x - sqr(8) = 0 . (sqr(8) bedeutet hier Wurzel aus 8). Mit 8 = 2² * 2 lässt sich sqr(8) noch zerlegen in 2sqr(2). Daraus erhält man x + 2sqr(2) = 0 oder x - 2sqr(2) = 0 <=> x = -2sqr(2) oder x = 2*sqr(2). Die Mitte zwischen diesen Nullstellen ist x = 0. In die Anfangsgleichung eingesetzt ergibt sich f(0) = -8. Der Scheitel S der Funktion liegt somit in S(0|-8).

Grüße

bergfexbs

Hallo KeinNameDa,

führe doch in der Skizze als Grundlänge die Hilfsgröße x ein. Dann kannst Du zu der Ähnlichkeit der Dreiecke zwei Gleichungen aufstellen:

1) x / h = b / c

2) (x - d) / h = a / c <=> x / h - d / h = a / c <=> x / h = a / c + d / h

1) in 2) eingesetzt [ linke Seite von 2) durch die rechte Seite von 1) ersetzt ]:

b / c = a / c + d / h <=> d / h = b / c - a / c <=> h / d = 1 / (b / c - a / c)

<=> h = d / (b / c - a / c)

Konkret mit den Zahlenwerten a = 2,4 m; b = 3,1 m; c = 2 m; d = 37 m ergibt sich

h = 37 m / (3,1/2 - 2,4/2) = 37 m / (1,55 - 1,2) = 37 m / 0,35 = 105,714 m

Hoffe, es war ausführlich genug.

Grüße

bergfexbs

Hallo meerlies,

ich gehe davon aus, daß es sich hier um Aufgaben zum Kreisausschnitt (Kreissektor) handelt. As wäre dann wohl die Fläche des Kreisausschnitts, die anderen Formelzeichen wie üblich. Dann gilt

1) r = sqrt[As * 360° / (pi * alpha)] ; Anmerk.: sqrt[ ] bedeutet "Wurzel aus ..."

2a) alpha = 360° * b / (2*pi * r)

2b) alpha = 360° * b / (pi * d)

2c) alpha = 360° * As / (pi * r² )

2d) alpha = 360° * As / (pi * r² )

falls bei 2d) d und As gegeben sind:

alpha = 360° * As / (pi * d² /4)

Anmerkung:

Zwecks Eindeutigkeit bei der einzeiligen Darstellung habe ich den Nenner in runde Klammern gesetzt. Bei üblicher Notation mit einem großen Bruchstrich können beim Nenner natürlich die runden Klammern entfallen.

Hallo ConsultingAnke,

als chemische Energie wird gelegentlich die Reaktionsenergie bezeichnet, d.h. die Wärmeenergie, die beim Verbrennen eines Stoffes frei wird. In der Bauphysik spricht man dabei vom Heizwert eines Brennstoffes. Die Antwort von EBIF5 ist falsch, weil er/sie diesen Heizwert mit der spezifischen Wärmekapazität (hat mit der Wärmespeicherung zu tun) verwechselt hat.

In Deiner Aufgabenstellung steckt offensichtlich noch ein Fehler, es müsste richtig wohl heißen: "1 Liter Heizöl (oder 1m³ Erdgas oder 1kg Holz) gespeicherte chemische Energie".

Die Heizwerte der 3 Brennstoffe sind: Heizöl: 10,4 kWh/Liter; Erdgas: 11,2 kWh/m³; Holz: 4,3 kWh/kg;

Der Heizwert hat in der Bauphysik in der Regel das Formelzeichen H.

Die chemische Energie einer bestimmten Menge eines bestimmten Stoffes ist

Chem.Energie = Menge * Heizwert

oder mit Formelzeichen

Q = V *H (wenn der Heizwert je Volumeneinheit angegeben ist, z.B.Heizöl u. Erdgas)

Q = m *H (wenn der Heizwert je Masseneinheit angegeben ist, z.B.Holz)

In Deiner Aufgabe:

Heizöl: Q = 1 Liter * 10,4 kWh/Liter = 10,4 kWh = 10,4*3600 kJ = 37440 kJ (Kilojoule).

Erdgas: Q = 1m³ * 11,2 kWh/m³ = 11,2 kWh = 11,2*3600 kJ = 40320 kJ

Holz: Q = 1 kg * 4,3 kWh/kg = 4,3 kWh = 4,3*3600 kJ = 15480 kJ

Zur Umrechnung von kWh in kJ: Es gilt 1 J = 1 Ws (1 Joule = 1 Wattsekunde) oder 1 kJ = 1 kWs (1 KiloJoule = 1 KiloWattsekunde).

Eine Stunde (h) hat 3600 Sekunden, somit gilt 3600 kJ = 1 kWh.

Zum Umrechnen merkst Du Dir:

zur Einheit kJ gehört der größere Zahlenwert.

also kWh -> kJ: mit 3600 multiplizieren,

umgekehrt kJ -> kWh: durch 3600 dividieren.

MfG

bergfexbs

Hallo misslady1,

hier ein "ausführlicher" Lösungsvorschlag ( bedeutet: "ist äquivalent zu", also Umformung der Gleichung in eine (oder mehrere) gleichwertige)

x²  =  256

x² - 256  =  0    [Zerlegung  von x² - a² in Faktoren: x² - a²  =  (x - a)*(x + a), a = √256 = 16 ]

(x - √256) * (x + √256)  =  0 

(x - 16) * ( x + 16)  =  0

links des Gleichheitszeichens steht ein Produkt aus 2 Faktoren, rechts steht 0

Ein Produkt ist dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.

Deshalb lautet die nächste Umformung

x - 16  =  0  oder  x + 16  =  0  (aus der quadratischen Gleichungen wurden 2 lineare)

x = 16  oder  x = -16

Grüße

bergfexbs

Hallo MerveYayla,

manchmal ist es einfach notwendig, kalten Kaffee wieder aufzuwärmen.

Ich habe mir die Antworten zu Deiner Fragestellung angesehen. Sie sind entweder fehlerhaft oder zu knapp und unverständlich. Deshalb hier konkret die Lösung der Aufgaben mit Anmerkung zum nächsten Lösungsschritt:

√96 * √6  =                       (96 zunächst in weitere Faktoren zerlegen ...)

√[8*12] * √6  =                (... dann 8 in 2*4 und 12 in 3*4 zerlegen ...)

√[(2*4)*(3*4)]  * √6  =    (...  4 jeweils in in 2*2 und 6 in 2*3 zerlegen ...)

Die runden Klammern in den Wurzelausdrücken dienen nur zur Zusammenfassung der Faktoren von 8 und 12. Sie sind  mathematisch natürlich nicht notwendig.

Die eckigen Klammern sollen den Wurzelstrich ersetzen (zusammenfassen, was zum davorstehenden Wurzelzeichen gehört).

√[(2*2*2)*(3*2*2)]  * √[2*3]  =   

(zusammenfassen unter einer Wurzel nach der Regel √a * √b * √[a*b] )

√[(2*2*2)*(3*2*2)*(2*3)]  =     (... runde Klammern weglassen ...)

√[2*2*2*3*2*2*2*3]  =             (... Primfaktoren nach Größe ordnen ...)

√[2*2*2*2*2*2*3*3]  =            

(... paarweise vorhandene Faktoren unter der Wurzel wegnehmen und einzeln vor die Wurzel schreiben, Regel:  √a*a  =  a. Es gibt 3 Paare 2*2 und ein Paar 3*3 ...

...zunächst die 2*2-Paare ...)

2*2*2*√3*3  =           (... √[3*3] = 3  ...

2*2*2*3  =  24

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√9 * √49  =     (... 9 = 3*3;  49 = 7*7  ...)

√[3*3] * √[7*7]  =    (... Regel:  √a*a  =  a ...)

3 * 7  =  21

-----------------------------------

√72  =         (... 72 = 2*36  =  2*6*6 ...)

√[2*6*6]  =   (anstelle 6*6 unter der Wurzel 6 vor die Wurzel,  Regel:  √a*a  =  a ...)

6*√2  ≈ 6 * 1,414  =  8,484     (...  √2 ≈ 1,414; Näherung von √2 ...)

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√125  =      (... 125 = 5*25  ...)

√[5*25]  =   (...  25 = 5*5 ...)

√[5*5*5]  =  (anstelle 5*5 unter der Wurzel 5 vor die Wurzel,  Regel:  √a*a  =  a ...)

5*√5  ≈  5* 2,236  =  11,18       (√5 ≈ 2,236; Näherung von √5 ...)

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Zum Verständnis:

Diese Aufgaben stammen noch aus früherer Zeit, als es weder Taschenrechner noch Computer gab. Da mußte man das Wurzelziehen noch zeitaufwendig von Hand erledigen. Deshalb kam es darauf an, Wurzelausdrücke so umzuformen, daß entweder alle Wurzelausdrücke wegfielen (siehe erste zwei Aufgaben), oder zumindest nur noch einfache Wurzelausdrücke übrigblieben. Die Wurzeln dieser einfachen Radikanden (Ausdruck unter dem Wurzelzeichen) konnten dann bis auf drei oder mehr Stellen den mathematischen Tabellenbüchern entnommen werden. Für den praktischen Gebrauch war dies meist ausreichend. War eine höhere Genauigkeit gefordert, mussten weitere Stellen hinter dem Komma durch trickreiche Iterationsrechnungen ermittelt werden.

Heutzutage bekommt man das Wurzelziehen ja fast geschenkt. Somit geht auch die Einsicht in den Sinn solcher Aufgaben naturgemäß verloren. Für das mathematische Verständnis macht die Lösung solcher Aufgaben aber immer noch Sinn.

Grüße

bergfexbs

Hallo tragedy2000,

notizhelge hat es auf den Punkt gebracht. Dazu nur noch eine Anmerkung zur Lösung der quadratischen Gleichung:

x² = 484

x² - 484  =  0    [Zerlegung von x² - a² in die Faktoren (x - a) und (x + a), hier ist a = 22]

(x - 22)*(x + 22)  =  0    [dieses Produkt aus den beiden Faktoren (=Klammerausdrücken) ...]

   [... ist dann gleich null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null ist, also ...]

x - 22  =  0   v  x + 22  =  0   [in der Aussagelogik ist v das Zeichen für "oder"]

x  =  22  v  x  =  -22

Hinweis:

In der Mathematik werden auch die Lösungen von algebraischen Gleichungen (also auch von quadratischen Gleichungen) als Wurzel bezeichnet. Insofern kann eine Wurzel auch eine negative Zahl sein.

Der Term √a² ist jedoch als +|a| (Betrag von a) definiert, also positiv.

Grüße

bergfexbs

Hallo ironicamente,

ich habe eben im Duden -Herkunftswörterbuch, in Meyers Lexikon (32 Bände) und auch in einem alten Mathe-Buch nachgeschaut. In keiner der 3 Quellen war eine Antwort zu finden.

Deshalb kann ich Dir nur meine Vermutung anbieten:

Das Wurzelzeichen sieht aus wie eine Pfahlwurzel. Vielleicht kommt der Begriff daher; z.B. kommt das deutsche Wort "Rettich" vom lateinischen "radix", das dort Wurzel bedeutet. Von diesem "radix" hat auch die Zahl unter dem Wurzelzeichen, der "Radikand" seinen Namen.

Es könnte aber auch umgekehrt sein: Der Radikand ist aus der Multiplikation zweier oder mehrerer gleicher Zahlen entstanden. Diese Zahlen nannte man deshalb sinnbildlich die Wurzel dieses Radikanden und aus diesem Grunde symbolisiert das Wurzelzeichen die Form eines Rettichs (radix).

Sei nicht traurig, wenn Du jetzt nicht schlauer bist, aber eine Wurzelbehandlung beim Zahnarzt wegen einem großen Loch im Zahn ist bestimmt schmerzhafter als diese Wissenslücke.

Grüße

bergfexbs

Hallo Fragefetzi,

allgemein suchst Du eine Möglichkeit, bei der Texteingabe bestimmte Zeichen tief zu stellen. Ob und wie das geht, hängt von der jeweiligen Eingabe-Routine ab.

Chraim empfiehlt Dir in seiner Antwort den Formeleditor. Funktioniert, ist aber für diesen Zweck nicht notwendig.

Hier je ein Vorschlag für Word und Excel, um bestimmte Zeichen in einem Text tief zu stellen.

Word:

Siehe Antwort "dompfeifer". Es geht aber noch schneller.

Schreibe z.B. h(xi). Du willst nun das "i" tiefer stellen. Markiere den Buchstaben "i" und rufe wie bei "dompfeifer" den Formatdialog auf. Wenn das Registerblatt "Schrift" angezeigt wird, verwende das Tastenkürzel "Alt"e und drücke die Eingabetaste. Der markierte Buchstabe erscheint dann tiefgestellt.

Excel:

Schreibe z.B. h(xi). Du willst nun das "i" tiefer stellen. Markiere den Buchstaben "i" und rufe mit dem Tastenkürzel "Strg"1 (die 1er-Taste auf dem Schreibmaschinenblock mit dem Ausrufezeichen darüber) zunächst den Formatierungsdialog auf. Dann kannst Du mit dem Kürzel "Alt"g und der Eingabetaste das markierte Zeichen tief stellen.

Schade, daß Microsoft es innerhalb von Office nicht hinbekommt, für den gleichen Vorgang nicht mit dem gleichen Tastenkürzel auszukommen.

Bei anderen Programmen funktioniert das ähnlich, sofern sie Zeichenformatierung in diesem Umfang ermöglichen (z.B. manche CAD-Programme bei der Eingabe von Textfeldern). Suche also bei anderen Programmen über das Hilfe-Menü im Index nach Zeichenformatierung.

Grüße

bergfexbs

Hallo uoyplehi,

die Lösung geht so:

log(x²) - log(x-2) = 5 log(3) - log(27)

log( x²/(x-2) ) = 5 log(3) - log(3³)

log( x² / (x-2) ) = 5 log(3) - 3 log(3)

log( x² / (x-2) ) = 2 log(3)

x² / (x-2) = 3²

x² = 3² * (x-2)

x² - 9x + 18 = 0

x² - 3x - 6x + 18 = 0

x(x - 3) - 6(x - 3) = 0

(x - 6)*(x - 3) = 0

x - 6 = 0  v   x - 3 = 0

x = 6  v  x = 3

Grüsse

bergfexbs

Hallo Musabenes,

vermutlich ist Deine Fragestellung nicht vollständig und es muß heißen:

x² - 3,2x  =  0

Diese quadratische Gleichung hat zwar nichts direkt mit dem Satz des Pythagoras zu tun, aber ihre Lösung geht so:

x² - 3,2x  =  0

<=>

x(x - 3,2) = 0  (x ausklammern)

<=>

x = 0  V  x - 3,2 = 0  (zwei Aussagen zu x)

<=>

x = 0  V  x  =  3,2  (zwei Lösungen der quadratischen Gleichung)

mfg

bergfexbs

z1 sei die erste Zahl, zn sei die letzte Zahl, n die Anzah der zu summierenden Zahlen und S die Summe, dann ist

S = (z1+zn)*n/2  =  (99 + 1)*99/2  =  100*49,5  =  4950

Der große Mathematiker Carl Friedrich Gauß hat die ähnliche Aufgabe (mit den Zahlen 1 bis 100, S = 5050) als Siebenjähriger in Minutenschnelle gelöst.

Hallo LoLoLoLoLoL,

die Aufgabe ist leicht zu lösen, wenn eine der beiden Strecken AS oder BS bekannt ist.

Schau Dir dazu Deine Skizze an und ergänze sie um die Punktbezeichnungen A, B und S (A, B = Anfang- und Endpunkte der Standlinie, S = Turmspitze)

Im Dreieck ABS können die fehlenden Innenwinkel berechnet werden. Der stumpfe Winkel bei A ist 180°-alpha = 123,6°, der spitze Winkel zwischen AS und BS ist 180° - alpha - beta = 14,3°.

Mit dem Sinussatz erhält man die beiden Strecken AS und BS. Im Dreieck ABS gilt:

sin 14,3° / 50 m  =  sin 42,1° / AS   <==>  AS  =  50 m * sin 42,1° / sin 14,3° = 135,71 m.

Die Turmhöhe ist dann:  h = AS * sin 56,4°  =  135,71 * 0,8329  =  113,04 m.

Analog zur obigen Rechnung kannst Du Deine Lösung mit der Strecke BS überprüfen.

sin 14,3° / 50 m = sin 123,6° / BS   <==>  BS = 50 m * sin 123,6° / sin 14,3°  =  168,608 m

Turmhöhe:  h = BS * sin 42,1°  =  168,608 * 0,6704  =  113,04 m.  Ergebnis OK