Die Steigung berechnest du durch
Dann setzt du in die allgemeine Normalform einer Geradengleichung die berechnete Steigung und irgendeinen der gegebenen Punkte ein, ich nehme mal P1:
Anschließend nach b auflösen
Es ist nicht von Bedeutung, ob das Intervall halboffen oder abgeschlossen ist. Daher, wie du schon gesagt hast, würde ich in diesem Fall auch das arithmetische Mittel für die Berechnung der Intervallmitte verwenden.
Dass die Null eine Zahl ist und dass jede andere Zahl ebenfalls eine Zahl ist, wird durch die Peano-Axiome beschrieben. Ein Axiom muss nicht bewiesen werden, da es allgemein anerkannt und als richtig angesehen wird.
A)
B)
C)
Du musst dir die Worte in Gleichungen "übersetzen" und ein Gleichungssystem erstellen. Ich schreibe mal die erste Teilaufgabe als Gleichungen auf:
Wir wissen, dass der Umfang eines Dreiecks wie folgt aussieht:
Daraus lässt sich die erste Gleichung ableiten:Die zweite Gleichung sähe dann so aus:Die dritte:Also hast du jetzt genau drei Gleichungen mit drei Unbekannten; somit kannst du ein lineares Gleichungssystem erstellen und dann irgendein Verfahren anwenden, um es zu lösen.
Das gleiche bei Aufgabenteil b.
Es gibt die allgemeine Form:
Die Scheitelpunktform:
Oder anders geschrieben:
Dann die Linearfaktorform/Nullstellenform:
Das erste lässt sich nicht weiter vereinfachen. Die Regel gilt nur, wenn beide durch ein Multiplikationszeichen verknüpft werden. Sprich:
Sollte dich wohl nur durcheinander bringen. Du könntest vielleicht noch faktorisieren:
Beim zweiten eigentlich genau dasselbe. Könntest hier wieder faktorisieren, aber vereinfachen lässt sich nicht weiter.
Das dritte ist falsch: Die Regel lautet ja a^n * a^m = a^(n+m). Im Exponent steht aber ein Multiplikationszeichen.
Beim vierten gilt: Bei Division mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Sprich:
Vereinfachen wir also dieses Beispiel, dann kommt folgendes raus:
Setze einfach Zahlen ein und überprüfe, ob die Gleichheit stimmt. Und einfach die Potenzgesetze einprägen, dann sollte das machbar sein.
Ich verstehe die Frage irgendwie nicht. Willst du wissen, ob die Menge der natürlichen Zahlen unendlich lang ist? Wenn es so wäre, dann ist hier eine kleine Begründung:
Wir wollen zeigen, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, sprich wir wollen folgende Aussage zeigen:
Ich versuche mal, das Gegenteil anzunehmen. Gäbe es eine größte beliebige natürliche Zahl n, dann können wir die Menge der natürlichen Zahlen in einer n-langen Liste aufzählen; so wäre ℕ:
Jedoch widerspricht dieser Gedanke einem der Peano-Axiome, welches besagt, dass jede natürliche Zahl n immer einen Nachfolger n' besitzt, der ebenfalls zu den natürlichen Zahlen gehört, also folgendes gilt:
Der Nachfolger ist dabei logischerweise immer um eins mehr definiert:
Das würde unserem m in der Aussage entsprechen, die wir zeigen wollen.
Dadurch, dass dieser Nachfolger nicht in unserer Liste auftretet, wissen wir, dass wir nicht alle natürlichen Zahlen aufgezählt haben - ein Widerspruch. Diese Liste lässt sich also um n+1 erweitern. Außerdem lässt sich n + 1 immer um 1 erweitern und daher sind die natürlichen Zahlen unendlich.
Du hast unter der Antwort von @Halbrecht gefragt, ob es eine Möglichkeit gibt, die Unendlichkeit zu übertreffen. Es gibt tatsächlich "verschiedene" Arten der Unendlichkeit. Ich würde mich mal mit Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit befassen, falls dich sowas interessiert. Naja, Unendlichkeit ist ein kompliziertes Thema...
Ich weiß nicht was in der Aufgabenstellung steht, aber wahrscheinlich sollst du irgendwie begründen, dass die Aussagen stimmen.
Daher zu a)
Zeigen/begründen sollst du:
Für alle a,b aus den rationalen Zahlen gilt: Es gibt zwischen a und b eine weitere rationale Zahl.
Du könntest mal überlegen: Es gibt unendlich viele rationale Zahlen. Man könnte also eine Liste von allen rationalen Zahlen konstruieren, die dann logischerweise nie aufhört. Das heißt, irgendwann treten auch die rationalen Zahlen a und b in dieser Liste auf. Da die Liste nun unendlich lang ist, so wird auch zwischen diesen Zahlen eine rationale Zahl existieren.
Du könntest aber auch zeigen, dass es zwischen den zwei rationalen Zahlen a und b mindestens eine weitere rationale Zahl c gibt. Unabhängig davon, dass es unendlich viele gibt, könntest du bspw. genau die Mitte dieser beiden Zahlen wählen.
Zu b)
Zu zeigen ist, dass wenn eine rationale Zahl mit einer irrationalen Zahl addiert, das Ergebnis immer eine irrationale Zahl ist. Wieder erst mal eine Überlegung: Eine rationale Zahl a kann als Bruch x/y dargestellt werden. Eine irrationale jedoch nicht, denn eine irrationale Zahl kann nicht als ein solcher Bruch dargestellt werden, was daran liegt, dass eine solche Zahl aus unendlich vielen Ziffern besteht.
Ein Versuch meinerseits:
Zu zeigen ist: Wenn a Teil der rationalen Zahlen ist und b Teil der irrationalen Zahlen, dann ist das Ergebnis der Addition dieser beiden Zahlen teil der irrationalen Zahlenmenge.
Wir können die Zahl a als Bruch x/y darstellen. Es gilt also a = x/y. Da die Zahl b eine irrationale Zahl ist, so können wir diese Zahl als unendliche Zahl mit unendlich Ziffern darstellen:
Wir tun jetzt genau das, was in der Aufgabenstellung steht, wir addieren beide Zahlen:
a + b = (x/y) + 0.c1c2c3 ...
Wir können b aber unendlich weit erweitern:
a + b = (x/y) + 0.c1c2c3c4c5 .... c100 ... c1000 .....
Daraus kann man ableiten, dass das die Summe eine unendliche Zahl ist und damit Teil der irrationalen Zahlen ist.
Der Aufgabenteil c ist glaube ich selbsterklärend.
Hoffe, ich konnte helfen!
Der Topf liegt bei C = (1, 9).
Für den Höchstpreis setzt du x = 0, also überall wo in p_[n](x) ein x steht, setzt du 0 null ein.
Für die Sättigungsmenge setzt du p = 0 und das ist dann logischerweise die Nullstelle, die sich dann ergibt - also Funktionsgleichung nullsetzen.
Mach daraus eine Gleichung. Der gesuchten Zahl gibst du irgendeinen (am besten wohl x) Namen und machst dann das, was da steht. Sprich, du setzt die Zahl ins Quadrat (Zahl^2) und setzt sie dann mit 10 * (Zahl) -21 gleich.