Einen gesonderten Dringlichkeitsantrag gibt es da nicht. Ich vermute mal, dass deiner Schwester etwas in der Art gesagt wurde, dass sie dringend kurzfristig einen Antrag auf Wohnungswechsel stellen soll.
Es gibt schon bestimmte Paragraphen, die u.a. die Zusicherung zum Umzug regeln. Für die Wirksamkeit des Antrags kommt es aber nicht darauf an, sich explizit auf diese Paragraphen zu beziehen. Es muss nur erkennbar sein, was man beantragt.
Für den Antrag auf Wohnungswechsel benutzen manche Jobcenter einen Vordruck, andere nicht. Wenn das zuständige Jobcenter keinen Vordruck benutzt, kann deine Schwesterein formloses Schreiben aufsetzen, in dem sie schreibt, was sie beantragt (z.B. Zusicherung zum Umzug in die Wohnung XY, Übernahme von Renovierungskosten, darlehensweise Übernahme der Kaution, Übernahme der Kosten für einen Transportwagen usw.). Außerdem muss sie ihren Antrag begründen (z.B. Umzug aus gesundheitlichen Gründen erforderlich wegen Schimmelbefall der Wohnung, Schwangerschaft usw.). Wichtig ist, dass deine Schwester die Gründe für den Umzug ggf. belegen können muss (z.B. durch Fotos von den Stellen, die von Schimmel befallen sind).
Bei Schimmelbefall in der Wohnung kann es hilfreich sein, wenn deine Schwester anbietet, dass das Jobcenter sich selbst davon überzeugen kann durch einen Besuch des Außendienstes. Das ist eine freiwillige Möglichkeit. Deine Schwester kann nicht gezwungen werden, die Mitarbeiter in die Wohnung zu lassen. In solchen Fällen ist ein Besuch aber wesentlich einfacher, als z.B. mit Fotos u.ä. zu arbeiten - theoretisch könnte dann nämlich auch die Frage aufkommen, ob die Fotos in der bisherigen Wohnung gemacht wurden oder ob sie aus einer ganz anderen Wohnung stammen.
Zusätzlich muss deine Schwester ein Mietangebot für eine neue Wohnung einreichen. Das Mietangebot muss dabei die verschiedenen Anteile an der Miete aufschlüsseln (z.B. Angaben zur Heizungsanlage (Öl, Gas, Nachtspeicher, Fernwärme), Höhe der Betriebskosten, Höhe der Heizkosten, Angaben zur Art der Warmwasserbereitung (zentral oder über einen Boiler), Grundmiete usw.). Bei Wohnungsbaugesellschaften bekommt man problemlos ein Schreiben, das alle erforderlichen Angaben enthält. Bei "kleineren Vermietern" muss man manchmal um genauere Aufschlüsselung bitten, wenn sie nur die pauschalen Daten wie aus dem Mietangebot bestätigen.
Das Mietangebot muss deine Schwester deshalb gleich beilegen, weil eine Zusicherung zum Umzug immer für eine bestimmte Wohnung erteilt wird. Vorab kann man nur eine Information bekommen, ob einem Umzug aus den angegebenen Gründen grundsätzlich zugestimmt werden könnte, das wäre nichts verbindliches.
Die vollständigen Unterlagen sollte deine Schwester am besten persönlich beim Jobcenter abgeben und um kurzfristige Entscheidung bitten wegen Dringlichkeit auf Grund der gesundheitlichen Situation (Schwangerschaft und gleichzeitig Schimmelbefall in der Wohnung).