Im folgenden werden ich für das Integralzeichen einfach I schreiben.
Also I 3/(1-5*x)^4 dx soll berechnet werden.
Was du erkennen kannst ist, dass 3/(1-5*x)^4 eine verkettung von Funktionen ist in der Form f(x) = 3/u(x)^4 mit u(x) = 1-5x
Also wird hier schon mal Integration durch Substitution benötigt.
Folglich substituiere ich: u = 1-5x und dx = du / -5, denn du musst dx auch ersetzen indem du u ableitest und nach dx umstellst.
Folglich sieht das Integral nun so aus: I ( 3/u^4 * du / -5 )
Nun kannst du die Faktorregel anwenden und 3 und 1/-5 aus dem Integral rausziehen.
Also: (3/-5) * I ( 1/u^4 ) du
Aus den Regeln für Exponenten gilt: u^(-4) = 1 / u^4 also kannst du das so umformen.
Folglich: (3/-5) * I u^4 du
Nun kannst du die Potenzregel anwenden:
(3/-5) * (1/-3) * u^(-3) + C
Nun kannst du den Exponenten wieder umformen und die beiden Brüche multiplizieren:
(3/15) * 1/u^3 + C
Nun kannst du den Bruch kürzen und u wieder rücksubstituieren:
(1/5) * 1/(1-5*x)^3 + C
Nun kannst du die Brüche wieder multiplizieren:
1 / ( 5 * (1 - 5*x)^3 ) + C
Dann bist du fertig.