Das sieht nach einer alten Telefonanschlussdose aus, wahrscheinlich TAE. Ein LAN-Kabel kannst du daran direkt nicht anschließen, weil die Dose nur für analoge Telefon- oder DSL-Signale gedacht ist.
Wenn du DSL hast, brauchst du einen Router, der das Signal von der Leitung in WLAN oder LAN umwandelt. Falls der Router woanders steht, könntest du Powerline-Adapter nehmen. Damit wird das Internet über die Steckdose verteilt, und du kannst dir das LAN-Kabel-Verlegen sparen.