Die Lösung:
Windows hat angefangen unter Einstellungen -> Netzbetrieb und Energiesparmodus die Bildschirme nach 15 Minuten auszuschalten. Diese Einstellung wurde nicht vom Anwender getätigt.
Darauf habe ich zwar mit einer Stoppuhr getestet, aber beim Test scheint etwas schief gegangen zu sein, weswegen ich das ausgeschossen hatte.
Die im ersten Absatz genannte Einstellung stellt sich von selbst immer wieder um, egal wie oft man "Nie" auswählt.
Also zum Glück keine neue Grafikkarte.
Trotzdem vielen Dank für alle Antworten!