Klar kann man. Was andere davon halten und ob die es glauben ist doch total egal.

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Nein. Es besteht ja kein Arbeitsverhältnis mehr, du und der ehemalige AG sind Wildfremde.

Oder warst du schon vor der Kündigung krank und hattest für den Zeitraum noch keine AU Bescheinigung abgegeben?

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Die Frage ergibt in der Form keinen Sinn und zeugt davon dass du keinerlei Ahnung hast. Dann ist dir nicht damit geholfen wenn dir jemand einen Anbieter und Tarif nennt, da evtl. überhaupt nicht das versichert ist was du meinst.

In dem Sinne: Lass dich von einem Versicherungsmakler beraten.

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Unsere Nachbarn haben nun gegen uns Anzeige erstattet

Wegen welcher angeblichen Straftat?

so dass sie wollen, dass wie das durch unsere Haftpflicht Versicherung erstatten lassen.

Ihr wart es doch gar nicht, also haftet ihr auch nicht. Wenn er Schadensersatz haben will (der ihm grundsätzlich zusteht) muss er sich an den Verursacher wenden.

Sollte er dennoch konkrete Ansprüche an euch stellen, ist eure Privathaftpflicht dafür in der Tat zuständig. Sie wehrt die unbegründeten Ansprüche ab.

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Also man fängt ja mit 150% an

Das ist falsch.

darf er mich dann einfach gleich am Anfang auf 70% runter Stufen

Jedes Unternehmen hat diverse Regelungen für verbesserte Ersteinstufungen.

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Schule wechseln.

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Einfach der Polizei melden.

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Dein Konto war nicht gedeckt als abgebucht werden sollte.

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Meine Frage ist, ob dies erlaubt ist,

Sicher

und insbesondere ob ich verlangen kann, dass ein Umzugsunternhemen die Arbeit für mich auf Kosten der Hausverwaltung verrichtet 

Klar. Die Kosten sind ja auch von der Gebäudeversicherung des Vermieters (welche du ja mit bezahlst) gedeckt.

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Deine extra für den Fernseher abgeschlossene Elektronikversicherung würde den Schaden wohl regulieren...

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