Eine Funktion ist eine Zuordnung. Durch eine festgelegte Regel wird einer Zahl eine andere zugeordnet. Dies ist ein wenig abstrakt formuliert. Aber es steckt viel weniger dahinter, als man befürchten kann: Die Regel sagt nämlich, wie man die zugeordnete Zahl ausrechnen kann.
Funktionen werden meist in dieser Art gegeben:
f(x) = 0,75x2 - 5x + 0,5
Der Name der Funktion ist f. Das eingeklammerte x nach dem Funktionsnamen gibt an, mit welcher Variablen die Funktionsdefinition rechts vom Gleichheitszeichen arbeitet. Genausogut könnte man dieselbe Funktion mit f(a) = 0,75a2 - 5a + 0,5 beschreiben.
Mit einer solchen Funktionsgleichung kann nun berechnet werden, welche Zahlen einander zugeordnet werden. Man setzt eine Zahl für die Variable ein, und zwar überall dort, wo die Variable im Funktionsterm vorkommt, berechnet den Term, der jetzt nur noch aus Zahlen besteht, und erhält so die zugeordnete Zahl, den Funktionswert der eingesetzten Zahl. Der Funktionswert von 4 ist zum Beispiel: 0,75·42 - 5·4 + 0,5 = 0,75·16 - 20 + 0,5 = 12 - 20 + 0,5 = -7,5. Man schreibt auch f(4) = -7,5. Der 4 wird durch die Funktion f der Funktionswert -7,5 zugeordnet.
So kann man (bei dieser Funktion) für jede beliebige Zahl einen Funktionswert berechnen.
Es gibt Funktionen, die nicht jeder Zahl einen Funktionswert zuordnen, z.B. hat f(x) = 1/x keinen Funktionswert für x=0, da die Division durch Null nicht möglich ist. Man sagt, die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert.
Durch das Ausrechnen entstehen Wertepaare zwischen eingesetzter und ausgerechneter Zahl. Man kann so eine Wertetabelle erstellen und den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem zeichnen. Die eingesetzten Werte entsprechen der horizontalen Koordinate und die ausgerechneten Funktionswerte der vertikalen Koordinate, also dem jeweiligen Abstand zur x-Achse. Jedem Wertepaar entspricht so ein Punkt im Koordinatensystem. Den oben berechneten Punkt (4|-7,5) trägt man ein, indem man vom Ursprung (Schnittpunkt der beiden Achsen) 4 Einheiten nach rechts geht und 7,5 nach unten ("-7,5 nach oben").
Der Funktionsgraph von f(x) = 0,75x2 - 5x + 0,5 sieht so aus: (Der Punkt (4|-7,5) ist rot markiert.)
Der Begriff linear leitet sich von lateinisch linea = "Leine, Schnur, Faden" ab. Der Graph einer solchen Funktion ist wie mit einer "gespannten Leine" gezeichnet, es ist also eine Gerade.
Wie muß nun ein Funktion beschaffen sein, daß der Funktionsgraph eine Gerade wird?
Wenn man die eingesetzten Werte mit gleichbleibenden Schritten erhöht (oder vermindert), müssen sich auch die Funktionswerte immer um gleichbleibende Schritte erhöhen (oder vermindern). Nur so ergibt sich ein absolut glatter "Kurven"-Verlauf.
Das ist immer genau dann der Fall, wenn im (vollständig vereinfachten) Funktionsterm das x nur ohne Exponent und nicht im Nenner vorkommt. Ein Faktor vor dem x gibt an, wie stark die Funktionswerte zunehmen, wenn x größer wird.
Beispiel: f(x) = 2x
Immer wenn sich das x um 1 erhöht, erhöhen sich die Funktionswerte um 2, denn das x wird ja mit 2 multipliziert und jede Änderung von x geht also doppelt in das Resultat ein: f(5,5) = 11 und f(6,5) = 13.
Beispiel: f(x) = 3x - 5
Immer wenn sich das x um 1 erhöht, erhöhen sich die Funktionswerte um 3, denn das x wird mit 3 multipliziert und jede Änderung von x geht dreifach in das Resultat ein. Das ist auch so, wenn jeweils 5 abgezogen wird: f(5,5) = 3·5,5 - 5 = 16,5 - 5 = 11,5 und f(6,5) = 3·6,5 - 5 = 19,5 - 5 = 14,5.
Beispiel: f(x) = -1,5x + 7
Immer wenn sich das x um 1 erhöht, vermindern sich die Funktionswerte um 1,5, denn das x wird im Funktionsterm mit -1,5 multipliziert und jede Änderung von x sorgt dafür, daß sich das Resultat um das Anderthalbfache der Änderung vermindert. Wieder ändert die Addition von 7 nichts daran: f(5,5) = -1,5·5,5 + 7 = -8,25 + 7 = -1,25 und f(6,5) = -1,5·6,5 + 7 = -9,75 + 7 = -2,75.
Man sieht also am Faktor vor dem x, wie stark sich die y-Werte verändern. Geht man im Graph einer linearen Funktion von einem beliebigen Punkt auf der Geraden um 1 nach rechts, so muß man um genau diesen Faktor nach oben gehen, um zum Graphen zurückzukehren. Falls der Faktor negativ ist, muß man nach unten gehen. Diese waagerechte und senkrechte Strecken ergeben zusammen mit dem Abschnitt der Geraden ein Dreieck, das man Steigungsdreieck nennt.
Den Faktor vor dem x nennt man dementsprechend Steigung. An ihm erkennt man, wie stark die Gerade steigt (oder fällt, falls er negativ ist).
Falls der Faktor 0 ist, d.h. wenn gar kein x vorkommt, so ist die Gerade genau horizontal. Das ist auch logisch, denn im Funktionsterm kommt gar kein x mehr vor, und beim Ausrechnen erhält man somit immer denselben Wert. Z.B. bei f(x) = -5 kommt immer -5 heraus, egal was man für x "einsetzt".