Die Aussage gilt fuer jedes Dreieck. Beweis:

Sei M(a) der Mittelpunkt der Seite BC und M(b) der Mittelpunkt der Seite AC. Nach dem Strahlensatz mit Strahlen von C aus ist die Strecke M(b)M(a) halb so lang wie die Strecke AB. Der Umkreismittelpunkt liegt auf den Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Also ist die Strecke UM(b) senkrecht auf der Seite AC und der Spiegelpunkt B' von U bezueglich der Seite AC liegt auf der Verlaengerung der Strecke UM(b) ueber M(b) hinaus, so dass B' doppelt soweit von von U entfernt ist, wie M(b). Entsprechend liegt der Spiegelpunkt A' von U an der Seite BC auf der Geraden durch UM(a) und ist von U doppelt soweit entfernt wie M(a). Wende jetzt den Strahlensatz auf Strahlen von U aus an: B'A' ist doppelt so lang wie M(b)M(a), also so lang wie AB. Dasselbe gilt fuer die anderen Seiten. Somit ist das Dreieck A'B'C' nach dem Kongruenzsatz SSS zum Dreieck ABC kongruent. Zudem sind die jeweils analogen Seiten der beiden Dreiecke zueinander parallel. Bitte mache Dir eine Skizze. Ich kann das zwar mit Bleisift auf Papier aber nicht elektronisch tun.

arc sin x bedeutet: der Winkel (Bogen), dessen Sinus gleich x ist. (Dabei wird der Winkel meist im Bogenmass gemessen.) Z.B. ist sin(pi/6)= (sin 30 grad)=1/2, also arcsin(1/2)=pi/6. Nun musst Du in zweierlei Hinsicht aufpassen. Erstens gibt es arcsin x nur fuer Zahlen x zwischen -1 und 1. Zweitens gibt es viele Winkel, die einen gegebenen Sinus haben. Z.B. ist auch sin(5pi/6)=1/2. (Und zu beiden Winkeln pi/6 und 5pi/6 kann man noch beliebige Vielfache von 2pi addieren, so dass der Sinus gleich bleibt.) Deshalb muss man die moeglichen Winkel einschraenken, damit arcsin x eine eindeutige Bedeutung hat. Éine solche Einschraenkung ist etwas willkuerlich. In der Regel verlangt man -pi/2 kleinergl. arcsin kleinergl. pi/2 und 0 kleinergl. arccos kleinergl. pi, sowie -pi/2 kleinergl. arctan kleinergl. pi/2.

Mache Dir eine Skizze der Sinus-, Cosinus, Tangensfunktion und spiegele diese an der Geraden y=x. Dann wirst Du die Probleme und Moeglichkeiten erkennen.

Gesucht eine komplexe Zahl z mit z^5=1+i. Denke Dir z mit sog. Polarkoordinaten beschrieben: z=|z|(cos(phi)+i.sin(phi)). Dann ist z^5=|z|^5(cos(5phi)+i.sin(5phi)). Es ist 1+i=W(2)(cos(45^o)+i.sin(45^o)) (^o soll Grad heissen und W Wurzel) Welche Winkel phi mit 5phi=45^o gibt es? Zum Beispiel 9^o, aber auch (9+72)^o, da 5.(9+72)=45+360 ist. Dasselbe gilt fuer die Winkel (9+k.72)^o mit beliebigen ganzen Zahlen k, aber nur die Werte k=0,1,2,3,4 ergeben verschiedene Winkel. Fuer |z| kommt (da es >0) sein muss nur die 10. Wurzel aus 2 in Frage. Die Gleichung z^5=1+i hat also 5 Loesungen, naemlich

z=(10. Wurzel aus 2)(cos(9+k.72)+i.sin(9+k.72)) wo k=1,...,4 ist.

Liebe Freundin oder lieber Freund,

natuerlich darfst du Mathe hassen, solange Du Deinen Mathelehrer nicht hasst. (Menschen soll man nicht hassen!) Aber Dein Hass auf Mathe hilft Dir natuerlich nicht weiter, wenn Du zum Beispiel Mathe fuers Abi brauchst. Dann musst Du schon fuer eine Weile mit der Mathe einen Waffenstillstand schliessen. Mach es so wie ich. Ich hasse es, Sport zu treiben, tue das aber doch in gewissem Umfang, um nicht voellig ausser Fasson zu geraten.

Liebe Gruesse!

Die Hoehe vom Eckpunkt C aus ist b.sin(alpha).

Man kann sin(beta) leicht ausrechnen. Nach Sinussatz ist sin(beta)/sin(alpha)=b/a.

Dadurch ist aber beta nicht immer eindeutig bestimmt. Allgemein haben 90^o-delta und 90^o+delta den gleichen Sinus. Auch ist die Konstruktionsaufgabe SSW nicht immer eindeutig loesbar.

Hast Du beta bestimmt, kannst Du auch gamma ausrechnen und damit die Hoehe von A aus zu b.sin(gamma) und die von A aus zu a.sin(gamma).

Der Abstand der n-ten Quadratzahl n^2 zur (n+1)-ten, naemlich (n+1)^2=n^2+2n+1, ist 2n+1, wird also mit wachsendem n immer groesser. Wenn also das Quadrat einer Zahl >60 knapp unter einer vollen Hundert ist, z.B. 64^2=4096, so ist die naechste Quadratzahl wohl groesser als die folgende volle Hundert, 65^2=4225. Also liegen keine Quadratzahlen zwischen 4100 und 4200. Beantwortet das Deine Frage?

Das Inverse einer invertierbaren Matrix A ist gleich der transponierten adjungierten Matrix, dividiert durch det(A). Die adjungierte matrix hat die Eintraege \pm det(Aij), wobei Aij aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Bei einer symmetrischen Matrix ist Aji gleich der Transponierten von Aij, hat also dieselbe Determinante. (\pm heisst plusminus). Die Vorzeichen stimmen auch.

Ist G das Mass der Grundflaeche, u der Umfang der Grundflaeche und hk die Hoehe des Prismas?? Wenn das so ist, laesst sich die Mantelflaeche zu einem Rechteck mit den Seiten u und hk ausklappen, dessen Mass Du sicher berechnen kannst. Fuer die gesamte Oberflaeche kommt noch zweimal die Grundflaeche hinzu (namlich oben und unten.)

Dies ist eine Frage der umgekehrten Proportionalitaet, da man - in gewissen Grenzen - davon ausgehen kann, dass z.B. doppelt soviele Maler die Haelfte der zeit benoetigen.

Also muss man fuer die erste Frage die Gleichung x/10=15/23 loesen, fuer die zweite Frage die Gleichung 5/10=23/y.

Liebe Momo,

wie meine Vorganger habe auch ich keine Ahnung, von welcher Parabel und welchem Rechteck die Rede ist. Bitte stelle Deine Frage noch einmal mit dem genauen Aufgabentext.

a^(m-n)= a^m/a^n.

Also ist wahrscheinlich mit der Aufgabe gemeint: 4^(5-3)=4^5/4^3 (=16) (-8)^(7-4)=(-8)^7/(-8)^4 (=-512)

Eine merkwuerdig gestellte Aufgabe!

Da 2 Punkte auf der x-Achse liegen (y-Wert=0) hat die Funktion die entsprechenden Nullstellen, hier -1 und 1. Die entsprechenden Linearfaktoren sind also x+1 und x-1. Als quadratische Funktion hat sie also die Gestalt c(x+1)(x-1)=c(x^2-1), wobei c eine noch zu bestimmende Konstante ist. Der Punkt P_2 hat die Koordinaten (0,2). Also muss c(0^2-1)=2 sein, d.h. c=-2.

Anton nimmt zu Anfang 4 S. Es bleiben 36=5.7+1 S. Jedesmal, wenn dann Birgit S. genommen hat, nimmt Anton anschliessend so viele, dass beide zusammen 7 S. genommen haben. Das geschieht 5mal, so dass 35 S. weg sind. Das 36. S. muss dann Birgit nehmen.

Wenn allerdings zu Anfang 43=6.7+1 (oder 50) S. auf dem Tisch liegen und A. anfangen muss, ist B. in derselben angenehmen Lage, wie vorher A. Egal, wieviele S. A. jedesmal nimmt, ergaenzt B diese zu 7, so dass nach 6 Malen fuer A. das 43. S. uebrigbleibt.

Was gilt, wenn derjenige gewinnt, der das letzte Streichholz nimmt???

Induktion nach n.

Induktionsanfang: n=1 (oder n=0) ist trivial.

Induktionsschluss von n auf n+1:

d(x^(n+1))/dx= d(x.x^n)/dx= 1.x^n+x.n.x^(n-1)=(n+1)x^n (mit Hilfe der Produktformel (uv)'=u'v+v'u).

Alternativ: (x+h)^n= x^n+nx^(n-1)h+(n ueber 2)x^(n-2)h^2+... (Allgemeine Binomialformel)

Also ist der Differenzenquotient gleich ((x+h)^n-x^n)/h =nx^(n-1)+h(....). Wenn h gegen 0 geht, geht Differenzenquotient gegen nx^(n-1).

Dein Lehrer wollte Euch sicher nur begreiflich machen, wie schwer (d.h. zeitaufwendig) es ist, von groesseren Zahlen festzustellen, ob sie Primzahlen sind. Natuerlich kann man probeweise durch alle ganzen Zahlen >1 dividieren, wobei es genuegt, moegliche Teiler zu betrachten, die hoechstens gleich der Wurzel der gegebenen Zahl sind. (Warum? Schon diese simple Beobachtung erspart viel Rechenarbeit!) Es gibt moderne Primzahltestverfahren, deren Beschreibung allerdings weit ueber die Schulmathematik hinausgeht. Aber diese ermoeglichen es nicht, Primfaktorzerlegungen grosser Zahlen anzugeben. Das koennen nur sog. Quantencomputer, die es allerdings bis heute nur in der Theorie gibt.

Was Deine Klassenarbeit betrifft: Es gibt einfache Tests dafuer, ob eine Zahl durch 2,3,5,11 teilbar ist. (Fuer 7 ist es schon etwas schwerer.) Mit einem Taschenrechner und einer Tabelle der Primzahlen unter 100 kannst Du leicht (d.h. schnell) feststellen, ob eine bis zu 4-stellige ganze Zahl eine Primzahl ist.

Potenzen werden vor Produkten ausgerechnet, wenn letztere nicht in Klammern stehen! Also 4.a^2.3.a^4.5.a^6=4.3.5.a^2.a^4.a^6= 60.a^(2+4+6)=60a^12. Es gilt ja die wahnsinnig wichtige Potenzregel:

a^m.a^n=a^(m+n)

Hier darfst Du nie (!) plus mit mal verwechseln. (Ich habe den Malpunkt unten geschrieben, weil ich es ohne Latex nicht besser kann.)

Meinst Du Funktionen wie e^(sin x), wo die e-Funktion mit der Sinus-Funktion verkettet ist?

Die Ableitung obiger Funktion ist (cos x)e^(sin x).

Die Ableitung von ln x ist 1/x. Also ist die Ableitung von ln(x^2)=2.ln(x) die Funktion 2/x.

Warum ist 1/x die Ableitung von ln(x)? Nun, ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x, d.h. ln(e^x)=x, e^ln(y)=y. Allgemein gilt: Ist f die Umkehrfunktion von g, so ist f'(x)= 1/g'(f(x)). Also ist die Ableitung von ln in x gleich 1/(e^ln(x))=1/x. Denn e^x ist die Ableitung von e^x. (Indem ich nicht auf die Definitionsbereiche der Funktionen eingegangen bin, ist die Antwort ein wenig schlampig!)

Die Zahl \pi ist definiert als der halbe Umfang eines Kreises vom Radius 1. (\pi ist ungef. 3,14159...)Also ist der Umfang eines Kreises vom Radius r gleich 2\pi.r. Der Flaecheninhalt eines Kreise ist gleich dem eines Dreiecks, dessen Grundseite gleich dem Umfang und dessen Hoehe gleich dem Radius ist, also 2\pi.r.r/2=\pi.r^2. Denn man kann den Kreis in viele Sektoren zerlegen, die dann ungefaehr Dreiecke der Hoehe r sind, deren Grundseiten sich zum Kreisumfang addieren. Analog dazu ist das Volumen V einer Kugel so gross wie eine Pyramide der Hoehe r, deren Grundflaeche gleich der Kugeloberflaeche S ist. D.h. V=rS/3. Man kann nun zunaechst zeigen, dass das Volumen einer Halbkugel gleich der Zylinder - Kegel ist (wobei Radius und Hoehe beidesmal r ist). Oder man zeigt, dass S gleich der Mantelflaeche eines Zylinders vom Radius r und der Hoehe 2r ist. V=4\pi.r^3/3, S=4\pi.r^2.