Das 1+1=2 gilt folgt direkt aus den Peano-Axiomen.
Wenn dir diese (aus welchem Grund auch immer) nicht gefallen kannst du im Werk "Principia Mathematica" einen grundlegenderen (aber auch deutlich komplizierteren) Beweis finden.
Die Voraussetzungen/Prämissen sind in beiden Fällen gewisse Axiome. Also kommt es auch in gewisser Weise darauf an was du mit "objektiv beweisen" meinst. Ob Mathematik auch ohne von uns aufgestellten Axiomen existiert und mathematische Aussagen "objektive Wahrheitswerte" besitzen, kann ich dir nicht sagen. Das ist Gegenstand der (mathematischen) Philosophie und selbst dort gibt es keine eindeutige Meinung dazu.