Mir gefallen noch die folgenden "langen" Animes ganz gut:
a) Ich weiß nicht so genau, wie gut ihr mit der Testtheorie vertraut seid. Vielleicht verlange ich ein bisschen zu viel, aber ich würde die Aufgabe folgendermaßen lösen:
Sei p > 0. Die Gütefunktion G für diesen Test berechnet sich durch
G(p) = P(X <= 3)
= B(100, p, 0) + B(100, p, 1) + B(100, p, 2) + B(100, p, 3). Je kleiner das p wird, desto größer wird die Gütefunktion, denn die Wahrscheinlichkeit für nur wenige Treffer erhöht sich. Bilden wir also das Supremum über alle p, die im Akzeptanzbereich der Hypothese liegen, so kommen wir also auf das Niveau G(0.05).
Lange Rede, kurzer Sinn: Das Niveau beträgt gerade
B(100, 0.05, 3) + B(100, 0.05, 2) + B(100, 0.05, 1) + B(100, 0.05, 0), genauso wie du es angegeben hast. Das sind in der Tat etwa 25,78%.
Das ist für einen Test schon ziemlich hoch; man möchte so eine falsche Verwerfung möglichst vermeiden (man nennt das auch einen Fehler erster Art).
b) Ich bin mir ein wenig unschlüssig bei dieser Aufgabenstellung. Die Frage könnte wie folgt gemeint sein:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Regel nicht verworfen wird, obwohl der Anteil der Schwarzfahrer nur bei 2% liegt.
In diesem Fall würde es sich um einen Fehler zweiter Art handeln. Man berechnet dessen Wahrscheinlichkeit durch 1 - G(2%).
Ich kapier die Frage zwar noch nicht so ganz, aber im Allgemeinen muss die Gleichung in den reellen Zahlen nicht lösbar sein... Guck dir doch zum Beispiel
x^2 + x^4 = -1 an...
Die Formel, die du gefunden hast, ist der Binomialkoeffizient (n über k). Der nützt dir in dieser Aufgabe aber erst später etwas.
Google mal nach "Binomialverteilung" und probiers dann weiter.
Naja, nimm dir die allgemeine Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Diese lautet im zweidimensionalen Koordinatensystem vermutlich sowas wie
(x - xm)² + (y - ym)² = r², wobei M = (xm | ym) der Mittelpunkt ist.
Jetzt setzt du deine Werte für M und r ein, die du durch die zwei gegebenen Punkte leicht ermitteln kannst.
Dann schneidest du den Kreis mit der Geraden. D.h. du setzt für das y in der Kreisgleichung einfach die Funktionsvorschrift der Geraden ein und löst das alles nach x auf. Schon hast du deine Schnittstellen ermittelt.
"Logisch" ist weder die Existenz noch die Nicht-Existenz von Geistern. Zumindest kenne ich keinen guten Grund dafür, dass es Geister nicht geben sollte; ich hab lediglich nie einen gesehen/gehört/was auch immer.
Die Stimme eines Geistes muss ja nicht unbedingt durch Stimmbänder produziert werden. Der Wind "pfeift" ja auch, ohne Lippen zu besitzen... Da sind wir auch schon beim Thema:
Diese ganzen Berichte, dass man Geister gesehen hat, lassen sich - wenn man so will - leicht als Einbildung oder Fehlinterpretation der Realität abstempeln. Hört man etwa das Heulen des Windes oder sieht ein merkwürdiges Muster in den Blättern eines Baumes, so könnte man dies versehentlich als Stimme oder Gesicht eines Geistes deuten, ohne dass es wahr ist. Zudem kann man auch nie gänzlich ausschließen, dass sich die "Wahrnehmung" tatsächlich nur in der eigenen Phantasie abgespielt hat und fälschlicherweise als wahr angenommen wird. Das würde dann auf ein psychisches Problem hinweisen.
Die Ableitung lautet
3 / (2√x) - 4x^3.
Ich schätze, mit der Gleichung g wirst du nicht wirklich viel anfangen können, da du f1 und f2 nicht in denselben Grenzen integrieren kannst. Guck dir einmal folgendes Bild an: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282x+-+2%29+%2F+x^3%3B+%282x+-+1%29+%2F+x^3+from+x+%3D+0+to+3
... Hier sieht man deutlich, dass f1 überall "oberhalb" von f2 liegt, also schneiden sich die beiden gar nicht (wie man auch an deiner Gleichung für g ablesen kann, diese hat nämlich keine Nullstellen). Gesucht ist also die Fläche, die sich oberhalb der x-Achse und zwischen den beiden Graphen befindet. Diese beginnt bei x = 1/2, aber da integrierst du noch nicht über die Ersatzfunktion g sondern nur über f1.
Ich würde dir empfehlen, die Flächen von f1 und f2 einzeln auszurechnen und danach voneinander abzuziehen.
Beim Wurzelziehen kommen niemals negative Zahlen heraus. Beispiel:
Wurzel (4) = 2 (und nicht -2)
Wurzel (9) = 3
Wurzel (16) = 4
Wurzel (x²) = |x|... Und der Betrag von x ist ebenfalls keine negative Zahl. Vermutlich stellst du diese Frage, weil du dich mit dem Lösen quadratischer Gleichungen beschäftigst. Betrachten wir also die Gleichung
x² = 4. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel:
Wurzel (x²) = Wurzel (4). Aus obigen Gleichungen kennen wir die Ergebnisse:
|x| = 2. Wir wissen aber a priori nicht, ob dieses x vorher positiv oder negativ war. Weil der Betrag aber für positive x anders aussieht, als für negative, müssen wir eine Fallunterscheidung machen:
Fall 1: x ist positiv. Dann gilt:
|x| = x.
=> x = 2.
Fall 2: x ist negativ. Dann gilt:
|x| = -x
=> -x = 2
=> x = -2.
In jedem Fall aber ergibt die Wurzel etwas nicht-negatives.
Die x2-x3-Ebene ist die Ebene, für die alle Vektoren die Form (0 | a | b) haben, also nur aus x2 und x3-Koordinaten "bestehen". Sie ist also die Ebene, die von den Vektoren
(0 | 1 | 0) und (0 | 0 | 1) aufgespannt wird. Die Koordinatenform davon lautet: x1 = 0.
Beispiel:
y = 2 * (x - 4)² - 31. Wir multiplizieren das Quadrat mit der binomischen Formel aus:
y = 2 * (x² - 8x + 16) - 31. Wir multiplizieren weiter aus:
y = 2x² - 16x + 32 - 31. Wir fassen die Summanden ohne x zusammen:
y = 2x² - 16x + 1.
Umgekehrt:
y = 3x² - 12x + 6. Wir klammern den Koeffizienten von x² aus:
y = 3 * (x² - 4x + 2). Wir machen innerhalb der Klammer eine quadratische Ergänzung:
y = 3 * (x² - 4x + (4 - 4) + 2)
y = 3 * ((x² - 4x + 4) - 4 + 2). Wir wenden die binomische Formel an:
y = 3 * ((x - 2)² - 2). Wir multiplizieren aus:
y = 3 * (x - 2)² - 6.
Du kannst den Durchmesser des Kreises ermitteln, indem du die Länge einer Diagonale des Quadrates ausrechnest. So eine Diagonale geht nämlich genau durch den Kreismittelpunkt ;)
Wie definierst du denn Veränderung? Wenn du meinst
"1 ist um 1 größer als 0", dann ist die Veränderung von 1 auf eine Million natürlich viel größer als die von 0 auf 1, denn "1.000.000 ist um 999.999 größer als 1".
Gehen wir aber prozentual vor, so verhält es sich genau anders herum. Wenn ich von 1 auf eine Million gehe, steigere ich mich dabei nur um 99.999.900 Prozent des Ausgangswertes.
Betrachte ich die Veränderung von 0 auf 1, so ist die prozentuale Steigerung "höher", genauer gesagt kann man sie nicht einmal berechnen. Denn für jede reelle Zahl x gilt:
0 * (1 + x%) = 0 und das ist immer noch kleiner als 1. Also ist auch
0 * (1 + 99.999.900%) = 0 < 1. Also waren diese 99.999.900% einfach noch nicht genug...
n = (n über 1) = (n über n-1)... Welcher Spezialfall ergibt sich hierfür?
Im Prinzip ist das ein Cover vom "Can Can" von Jacques Offenbach... Ich hab die Fairy Tail-Version leider nirgendwo explizit finden können =( Wenn dus schaffst, kannst du mir Bescheid geben ^^
Sagen wir mal, a und b sind die Katheten des Dreiecks. Dann gilt für den Flächeninhalt:
A = 1/2 * a * b. Außerdem weißt du aus dem Sinussatz:
a / sin(α) = b / sin(β) (Falls a gegenüber von α und b gegenüber von β liegt).
Das sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen, das kannst du also nach a und b auflösen.
Im Prinzip steht dieses Minuszeichen ja für den Faktor (-1), der nur aus Faulheit nicht ausgeschrieben wird. Was du da stehen hast ist also
(-1) * (x - 5) * (3 - x). Ebenfalls aus Faulheit wurden hier einige Klammern weggelassen, denn die Multiplikation ist assoziativ. Eigentlich sollte da so etwas stehen wie
((-1) * (x - 5)) * (3 - x) oder
(-1) * ((x - 5) * (3 - x)). Aber wegen der Assoziativität ist das dasselbe. Wenn man sich nun die obere Variante anguckt, sieht man direkt dass es genügt, die Vorzeichen in der ersten Klammer umzudrehen:
((-1) * (x - 5)) * (3 - x)
= (-x + 5) * (3 - x).
Ich denke schon, dass man die Fragen online stellen darf. Ob es möglich ist, die Fragen zu googlen oder nicht, kann dem Prof ja erstmal ziemlich egal sein - in erster Linie sollen die Übungsaufgaben den Studenten dabei helfen, die Vorlesung zu verstehen. Wenn sie nun einfach die Lösung irgendwo aus dem Internet abschreiben, werden sie den Stoff auf andere Art und Weise vertiefen müssen oder (vermutlich) scheitern.
Mit dem, was ich mir aus dem Wikipedia-Artikel zur exakten Differentialgleichung zusammengereimt habe, sieht das ganze für mich so aus:
Gesucht ist eine Differentialgleichung p(x,y) + q(x,y)dy/dx = 0. Es gilt zudem:
du(x,y) / dx = p(x,y) und du(x,y) / dy = q(x,y).
Also würde ich doch erst einmal du(x,y) / dx und du(x,y) / dy herausfinden:
du(x,y) / dx = 4y - 14x
du(x,y) / dy = 4x... Es gilt also:
p(x,y) = 4y - 14x und q(x,y) = 4x.
Damit sähe die DGL wie folgt aus:
4y - 14x + 4x dy/dx = 0...
Ich versteh nicht so viel von Wahrscheinlichkeitsrechnung, also mögen mir die Mathematiker hier bitte verzeihen, wenn ich Blödsinn rede ;)
Ich denke, so ohne weiteres lässt sich das für n > 1 gar nicht ausrechnen... Es ist a priori erst einmal möglich, dass mein Vater zwar ein Kuckuckskind ist, ich aber trotzdem mit dem "Vater" meines Vaters verwandt bin. Dazu betrachte man einfach die Situation, dass meine Mutter ebenfalls ein Kuckuckskind ist, deren leiblicher Vater der "Vater" meines Vaters ist, also der falsche Großvater.
Wenn dazu noch mein Vater der Sohn des "Vaters" meiner Mutter ist, dann sind tatsächlich alle miteinander verwandt, obwohl es zwei Kuckuckskinder gibt... Allerdings sollte man sich in diesem Fall fragen, warum die Großeltern nicht direkt den richtigen geheiratet haben...
Um solche Fälle auszuschließen, muss man wohl die Vereinfachung treffen, dass der falsche Vater eines Kuckuckskindes nicht zugleich verwandt mit dem Kind des Kuckuckskindes sein darf. Ansonsten wird das ganze womöglich zu kompliziert... Außerdem sollte es - ebenfalls aus Gründen der Vereinfachung - nicht möglich sein, dass mein Großvater zugleich mein Vater ist (oder sonstiger Inzest). Das bedeutet aber zugleich, dass ich die Definition des Kuckuckskindes ein wenig verallgemeinern möchte.
Ich bin ein Kuckuckskind, falls mein "Vater" nicht mein leiblicher Vater ist oder falls einer meiner Vorfahren ein Kuckuckskind ist. In ersterem Fall nennt man mich auch Zufallskind (mir fiel gerade nix anderes ein)...
Die Frage lautet somit nun: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein Kuckuckskind bin?
Die Wahrscheinlichkeit, dass ich kein Zufallskind bin, liegt bei 8/9.
Die Wahrscheinlichkeit, dass meine Eltern beide keine Zufallskinder sind, liegt offensichtlich bei 8/9 * 8/9 = (8/9)².
Angenommen, meine Großeltern waren die ersten Menschen auf der Welt. Nach obiger Definition bin ich genau dann kein Kuckuckskind, wenn ich kein Zufallskind bin UND meine Eltern beide keine Zufallskinder sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt also (8/9) * (8/9)² = (8/9)³.
Führt man das ganze konsequent weiter, kommt man also auf die Formel, die du aufgestellt hast. Führ dir aber vor Augen, dass du damit nur die Wahrscheinlichkeit ermittelt hast, dass du mit mindestens einem deiner Vorfahren nicht verwandt bist.
Wenn du wirklich die Wahrscheinlichkeit wissen willst, dass du mit genau einem deiner Vorfahren nicht verwandt bist, musst du dafür die Wahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten (evtl mithilfe eines Baumdiagramms) ausrechnen und zusammenaddieren. In diesem Fall ist das ganz einfach:
Wenn ich mit genau einer Person nicht verwandt bin (die erste Generation sind jetzt mal die Großeltern), dann muss entweder nur meine Mutter oder nur mein Vater ein Kuckuckskind sein. Hätte die Menschheit ihren Ursprung in meinen Urgroßeltern, dann müsste stattdessen nur einer meiner Großeltern ein Kuckuckskind sein. Analog funktionieren die Fälle "exakt 2" oder "exakt n" meiner Vorfahren sind nicht mit mir verwandt.
Das denke ich zumindest ;)