Ein Summenzeichen ist bei Lichte betrachtet ja erstmal nur eine Schleife. Du hast einen Startwert für den Laufindex und entweder eine unendliche Schleife oder ein Maximum für den Laufindex. Eine endlosschleife könntest du so umsetzen:
int k = 1;
while (true) {
// Inhalt der Schleife
}
Nimm dazu noch eine Summenvariable, in der du Schritt für Schritt den Wert der Summe akkumulierst:
int k = 1;
double sum = 0.0;
while (true) {
sum += 1.0 / (k*k);
System.out.println("Summe für k von 1 bis " + k + ": " + sum;
k++;
}
Nun hast du allerdings eine Abbruchbedingung angegeben bekommen. Die Ausführung einer Schleife kann man mit "break" unterbrechen:
while (true) {
if (abbruchbedingung) {
break;
}
}
das ist gleichbedeutend zu
while (!abbruchbedingung) {
// Schleifeninhalt
}
Deine Abbruchbedingung lautet: 1 / k^2 < 10^-5. Das ist äquivalent zu k^2 > 10^5. Ich hoffe die bisherigen Erklärungen reichen aus, dass du dein Problem nun eigenständig lösen kannst.