Nein, die Tapete musst du nicht komplett abmachen. Es genügen die von pharao1961 beschriebenen 50 cm. Wichtiger ist, die Ursache nochmal genauer anzuschauen bzw. zu untersuchen. Du schreibst" über die volle Schrankbreite" war der Schimmel vorhanden, also, nur dort wo tatsächlich der Schrank stand. Das deutet darauf hin, dass eben zu wenig Luftzirkulation stattfand und der Schrank zu nahe an der Wand stand. Ist die Wand eine Außenwand? Du schreibst: "Wand zum Nachbarn" ist das eine Doppelhaushälfte, EG ???
Wenn du keinen anderen Platz für den Schrank innerhalb der Wohnung hast, dann wäre es besser den Schrank 5-10 cm von der Wand aufzustellen. So kommt ordentlich Luft drann und du kannst erstmal beobachten, ob der Schimmel evtl. wieder auftaucht.
Wenn Du Mieter bist, solltest du auf alle Fälle auch den Vermieter darüber informieren - schriftlich. So kann später keiner sagen, er hätte von nix gewusst.
Ach ja, wenn es das Schlafzimmer ist, dann beachte, dass gerade hier die Feuchtigkeit sich schnell an kalten Oberflächen niederschlagen und kondensieren kann. Deshalb auch im Schlafzimmer gut lüften, vorher aber das Zimmer und die Luft aufheizen, damit die Luft die vorhandene Feuchtigkeit auch mit nach draußen nehmen kann. (warme Luft kann mehr Feuchtigkeit aufnehmen als kalte)
Viel Erfolg!