Puh, noch kleiner ging wohl nicht, wie?
Die Aufgabe funktioniert folgendermaßen: Der Springer auf der Brücke besitzt Höhenenergie (eine Form von potentieller Energie). Wenn er abspringt, wird diese zuerst in kinetische Energie (= Bewegungsenergie) umgewandelt.
Da der Springer nicht lebensmüde ist, hat er sich an ein dehnbares Seil gebunden, dass als Feder wirkt. Dieses Seil ist 6m lang. Der Springer fällt also 6m ungebremst, dann spannt sich das Seil und bremst ihn bis zum Stillstand ab. Dabei wird die Bewegungsenergie in Spannenergie umgewandelt (wieder eine Form von potentieller Energie).
Die Autoren der Aufgabe haben das Nullniveau der Höhenenergie naheliegenderweise auf den Grund des Tals gesetzt, sodass der Springer, wenn er den Boden erreicht, keine Höhenenergie mehr hat. (Exkurs: Den Punkt, an dem die Höhenenergie 0 wird, kann man frei wählen. Man könnte auch sagen, der Springer hat auf der Brücke eine Höhenenergie von 0, dann bekommt er durch den Fall negative Energie. Das praktischste Nullniveau ist aber meistens der Fußboden.)
Kennt man die Spannenergie des Seils, dann kann man daraus berechnen, wie weit es sich gedehnt hat (die Auslenkung). Die Brücke ist 25m hoch, 6m ist das Seil am Anfang lang, bleiben noch 19m, die es sich dehnen darf, ehe der Springer aufschlägt.
Was wir wissen wollen, ist Folgendes: Wird sich das Seil mehr als 19m spannen, sodass der Springer aufschlägt und sich verletzt?
Jetzt haben die Autoren der Aufgabe einen Fehler gemacht: Abhängig von der Federsteifigkeit des Seils kommt der Springer entweder über dem Talboden zum Stehen, erreicht genau den Boden oder schlägt darauf auf. Die Autoren tun so, als hätte der Springer keine Höhenenergie mehr, wenn er zum Stehen kommt. Das gilt aber nur, wenn er genau den Boden erreicht. Kommt er vorher zum Stehen und hängt in der Luft, so hat er noch Höhenenergie.
Korrekt würde man jetzt folgendermaßen vorgehen:
Es gilt der Energierhaltungssatz (üblicherweise abgekürzt EES):
E_1 = E_2
Die Energie zu jedem Zeitpunkt besteht aus Höhen-, Bewegungs- und Spannenergie:
E = E_Höhe + E_kin + E_Spann
Eingesetzt in den EES ergibt sich:
E_Höhe1 + E_kin1 + E_Spann1 = E_Höhe2 + E_kin2 + E_Spann2
Am Anfang (Zeitpunkt 1) steht der Springer still (E_kin1 = 0) und das Seil ist nicht gespannt (E_Spann1 = 0). Am Ende (Zeitpunkt 2) steht der Springer ebenfalls still (E_kin2 = 0). Damit vereinfacht sich der EES zu:
E_Höhe1 = E_Höhe2 + E_Spann2
E_Höhe1 ist gegeben. Für E_Höhe2 und E_Spann2 setzt man jetzt Formeln ein. (h2 ist die Höhe über dem Boden zum Zeitpunkt 2)
E_Höhe2 = m * g * h2
E_Spann2 = 1/2 * D * (19m - h2)²
Was soll das (19m - h)? Das ist der Weg, den das Seil sich gedehnt hat. In 19m Höhe beginnt es sich zu dehnen, und wenn der Springer bei h2 = 17m stillsteht, dann hat sich das Seil um 19m - 17m = 2m gedehnt.
Damit lautet der EES jetzt:
E_Höhe1 = m * g * h2 + 1/2 * D * (19m - h2)²
Soweit die Physik, jetzt folgt Mathe. Wenn du diese Gleichung nach h2 umformst, so bekommst du die Endhöhe des Springers heraus. Diese sollte größer als 0 sein, oder es gibt Aua.
