Ich werde es anhand eines Beispieles versuchen, zu erläutern.
Aussage: Wenn es regnet, dann nehme ich einen Regenschirm mit.
Angenommen, es regnet nicht und ich nehme einen Regenschirm mit. Ist die obige Aussage noch zutreffend? Ja!
Ich habe dir nämlich nur gesagt, was ich tue, falls es regnet. Sollte es nicht regnen, so gibt dir meine Aussage keine Information über mein Handeln, ich könnte also auch einen Schirm mitnehmen. Du verwechselt gerade Implikation mit Äquivalenz:
Aussage: Genau dann, wenn es regnet, nehme ich einen Regenschirm mit.
In diesem Fall nehme ich meinen Schirm genau dann mit, wenn es regnet. Sollte ich also mit Schirm ohne Regen unterwegs sein, so ist diese Aussage falsch.
Nun zur Unterscheidung von hinreichender und notwendiger Bedingung:
Zunächst haben wir wieder eine Aussage A vorgegeben. Eine Bedingung selbst ist auch wieder eine Aussage. Eine Bedingung B wird notwendig genannt, falls aus der Negation von B die Negation von A folgt (dies ist eine Implikation!). Ein Beispiel:
A: Das Auto kann fahren.
B: Das Auto hat Räder.
Ein Auto ohne Räder kann nicht fahren. Daher ist es "notwendig", dass ein Auto Räder besitzt, damit A gilt.
Die Negation von B ist: Das Auto hat keine Räder.
Und wenn das Auto keine Räder hat, kann es nicht fahren, die obige Definition macht also Sinn.
Eine Bedingung B wird hinreichend genannt, wenn aus B direkt A folgt. Wenn wir also wissen, dass B wahr ist, wissen wir automatisch, dass A auch wahr sein muss. Aber sei vorsichtig! Wie oben sagt eine nicht wahre hinreichende Bedingung nicht aus, dass A nicht gilt. Oben ist die Aussage: "Es regnet.", eine hinreichende Bedingung dafür, dass ich den Schirm mitnehme (wenn wir also nachweisen können, dass es regnet, wissen wir direkt, dass ich einen Schirm mitnehme). Aber wenn es nicht regnet, können wir darüber im Allgemeinen keine Aussage machen.