Hallo liebe Community und hallo liebes GF-Team. Bitte löscht meine Frage nicht. Ich verlange keine fertige Lösung sondern bitte die Community nur mir zu helfen, meinen Fehler zu finden. Ich hoffe das ist erlaubt.
Vorweg: Im Folgenden steht int(...dx) für die Integration nach x. u und v bei der partiellen Integration sind jeweils Funktionen von x.
Nun zu meinem Problem: Ich hab heute eine Prüfung in höherer Mathematik und heute Nacht kam mir auf einmal in den Kopf, dass ich das Integral int(sin(x)cos(x)dx) ja ganz einfach mit Subsitution statt mit partieller Integration lösen kann. Jetzt habe ich aber zwei Möglichkeiten:
sub.: u = sin(x) oder u = cos(x) und entsprechend dazu dx = du/cos(x) oder dx = du/-sin(x)
Im einen Fall wäre die Lösung dann int(sin(x)cos(x)dx) = sin²(x)/2 und im anderen Fall int(sin(x)cos(x)dx) =-cos²(x)/2. Die beiden sind aber ja nicht gleich.
Wenn ich Integrationsgrenzen [a,b] einsetze erhalte ich aber die wahre Aussage 1=1. Später ist mir dann aufgefallen, dass ich bei einem unbestimmten Integral eine Konstante einführen muss. Das war mein Fehler, oder? Das erklärt auch, warum das bestimmte Integral eine wahre Aussage liefert.
Dann hab ich das Ganze aber auch noch versucht durch partielle Integration zu lösen nach der Formel int(u' v dx)=[u v] - int(u v' dx)
Wenn ich hier u' = sin(x) und v = cos(x) wähle steht dort int(sin(x)cos(x)dx) = [-cos²(x)] + c + int(cos(x)sin(x)dx)
Wenn ich das auflöse fällt das Integral ganz weg und ich habe nur noch 0 = -cos²(x)+c stehen. Was habe ich falsch gemacht?
Wenn ich u' = cos(x) und v = sin(x) wähle erhalte ich wieder int(sin(x)cos(x)dx) = sin²(x)/2 + c
Das sieht ja schon besser aus; aber warum komme ich nicht auf die zweite Lösung -cos²(x)/2? Was mache ich falsch?
Bitte helft mir
Viele Grüße!