Wieso hört das Daniell-Element irgendwann auf zu liefern?

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Naja beim Daniell-Element ist es ja so, dass zwei verschiedene Metallelektroden und deren Salzlösungen über einen elektrischen Leiter verbunden sind.
Mit der Zeit täuschen die beiden Zellen (Elektrode + Lösung) die Elektronen über den Leiter aus, bis die Lösungen (bzw. mindestens eine) vollständig umgewandelt wurden und somit keine Elektronen mehr wandern können.
Und zurück wandern sie eben nicht da die jeweiligen Metalle eben entweder bevorzugt als Ion (in der Salzlösung) vorliegt oder eben als elementares Metall.

Hoffe ich habe dir ein wenig weitergeholfen.

In der Zink- Halbzelle steigt beim Entladevorgang die Konzentration an Zinkionen stark an. Wenn man mit der Nernst Gleichung argumentiert, steigt somit auch das Elektrofenpotenzial der Zinkhalbzelle und wird dadurch "edler", da Zink wegen schon höher positiver Ladung in der Lösung nur noch " ungerne" oxidiert.
Bei Kupfer ist genau das Umgekehrte der Fall, es wird aufgrund der sinkenden Konzentration an Kupferionen in Lösung immer "unedler", sodass das Potenzial dieser Halbzelle sinkt.
Die daraus resultierende Spannung ist irgendwann so gering, dass kein Strom mehr fließt.