Wurzeln einfach im Kopf ziehen, aber wie?
Hallo ich habe da eine Frage bezüglich des Wurzelziehens. Ich schreibe bald eine Arbeit und da ist eine Sache, die ich nicht richtig verstehe. Wie zieht man Brüche leicht im Kopf? Natürlich weiß ich jetzt, dass √9 = 3 ist. Aber was ist mit den größeren Zahlen, wie √196? Wie kann man das ausrechnen? Wäre echt toll von euch wenn ihr mir das verraten könntet! :-)
6 Antworten
In der Tat ist es sinnvoll, die Quadratzahlen bis 20 auswendig zu können. Aber es geht auch anders:
Du zerlegst die Zahl, die unter der Wurzel steht, in Faktoren, im Zweifel bis hin zu den Primfaktoren.
196 ist z. B. offenbar durch 2 teilbar:
196 = 2 * 98
98 ist wieder durch 2 teilbar:
196 = 2 * 2 * 49
und 49 ist durch 7 teilbar:
196 = 2 * 2 * 7 * 7
Jetzt kannst du rechnen:
√196 = √ (2 * 2 * 7 * 7) = √ (2 * 2) * √ ( 7 * 7) ...
und da siehst du dann gleich, dass das 2 * 7 = 14 ist.
Wenn du jetzt z. B. √156 hättest, kommst du zu
156 = 2 * 78 = 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 3 * 13
Nur die zweien kannst du herausziehen und erhälst dann
√156 = 2 * √39
Also: zerlegen in Primfaktoren, Faktoren, die zweimal vorkommen, herausziehen, der Rest bleibt unter der Wurzel stehen.
Ich kenn dafür nur das Newtonverfahren.
sqrt_b(a) = x
x^b = a
f(x) = x^b - a
Die Newtonsche Näherungsformel lautet
x(n+1) = x(n) - f(x) / f'(x)
f'(x) = b*x^(b - 1)
x(n+1) = x(n) - (x(n)^b - a) / (b*x(n)^(b-1))
Dabei ist x(n) ein erster Schätzwert. Man kann einfach überschlagen, was wohl das Ergebnis sein könnte, z.B. bei sqrt(14) ist es irgendwo bei der 4.
Bei den Formeln ist "b" die Bezeichung für die "b"te Wurzel. Häufig ist das die 2te Wurzel, also b = 2. Dann gilt:
x(n+1) = x(n) - (x(n)² - a) / 2*x(n)
Dabei ist "a" der Radikand. Nehmen wir als Beispiel sqrt(12,25). Die Zahl ist zwischen 3² und 4², also schätze ich als ersten Wert x(n) = 3.
x(n+1) = 3 - (3² - 12,25) / 2*3 = 3 - (-3,35) / 6 = 3 + 0,5583333 = 3,5583333
x(n+1) = 3,56 - (3,56² - 12,25) / 2*3,56 = 3,56 - (12,6736 - 12,25) / 7,02
= 3,56 - (0,4236) / 7,02 ≈ 3,56 - 0,06 = 3,5
x(n+1) = 3,5 - (3,5² - 12,25) / 7 = 3,5 - 0/7 = 3,5
x(n+1) = 3,5
Endergebnis: 3,5
Das im Kopf zu berechnen ist zwar ziemlich schwer, aber möglich. Und man darf sich auch mal verrechnen, da das Verfahren kleine Fehler automatisch nichtigt. Hat man Papier und Stift zu Hand (wie in einer Arbeit), kann man es auch schriftlich lösen.
guckst dir die letzte Zahl an; zB bei 196 dann kommt nur 14 oder 16 infrage;
weil 4•4=16 und 6•6=36 hinten ne 6 haben.
bei 784 zB kommt nur 22 oder 28 infrage;
weil 2•2=4 und 8•8=64 hinten ne 4
die Wurzeln der Zaheln 1 bis 20 solltest du auswendig können. den rest rechne ich auch mit taschenrechner. aber es gibt bestimmt irgendeine regel, wie man das schneller wissen kann
Das geht nicht/schwer. Lern sie am besten auswendig! Oder probier im Kopf durch welche zahl quadriert deien Zahl ergibt bzw möglichst nahe trifft! Das sind 20 Zahlen die gehen schon leicht zum lernen!