Wurzel 18 irrational Beweis?
Hallo.
Ich weiß wie man beweist, das die Wurzel aus 2 irrational ist. Leider verstehe ich nicht ganz wie man beweist, dass die Wurzel aus 18 irrational ist.
Danke im Vorraus
5 Antworten
Es gibt noch eine ganz andere Möglichkeit:
Sei r eine rationale Zahl.
Dann gibt es (genau) eine "Normaldarstellung" von r als
r = p / q
wobei q > 0 ist und p und q teilerfremd sind (und, falls r = 0 ist, q = 1 ist, nur für die Eindeutigkeit)
Dann ist auch r^2 rational mit
r^2 = p^2 / q^2
wobei p^2 und q^2 teilerfremd sind (wären sie es nicht, hätte ein gemeinsamer Teiler t von p^2 und q^2 mindestens einen Primzahlfaktor t_p; weil t_p prim ist und p^2 = p * p teilt, teilt t_p auch p oder p, also teilt t_p p; ebenso teilt t_p q; damit sind p und q nicht teilerfremd, im Widerspruch zur Normaldarstellung)
r^2 ist genau dann eine ganze Zahl, wenn q^2 = 1 ist; dies kann (wegen q ∈ ℤ und q > 0) nur dann sein und ist auch immer der Fall, wenn auch q = 1; und dies ist genau dann der Fall, wenn r eine ganze Zahl ist.
Also: r ∈ ℚ\ℤ => r^2 ∈ ℚ\ℤ
Folgerung:
Die Wurzel einer ganzen Zahl ist entweder ganz oder irrational.
Angewendet auf diesen Fall:
Da 18 keine Quadratzahl ist, ist √18 irrational.
Wenn du weißt, dass Wurzel(2) irrational ist, bist du fertig, denn Wurzel(18) = Wurzel(9*2) = Wurzel(9) * Wurzel(2) = 3 * Wurzel(2)
Und irgendwo in deinen Unterlagen müsste dann noch stehen, dass eine Ganze Zahl multipliziert mit einer Irrationalen irrational ist. Dann bist du fertig.
Es ist schnell gezeigt (Danke), aber es muss gezeigt werden oder darauf verwiesen werden, dass es bereits gezeigt wurde.
Dazu musst du einfach nur beweisen, dass die Wurzel aus 2 irrational ist, weil :
√(18) = 3 * √(2)
Und den Beweis, dass die Wurzel aus 2 irrational ist, findest du bei Google und auf Youtube mehr als nur genug.
Bei Wurzel 18 bleibst du ja bei Wurzel 2, denn 2 *9=18 und aus der 9 kannst du die Wurzel ziehen!
Genau so.
Bzw: Wurzel(18) = Wurzel( 9 * 2) = Wurzel(9) * Wurzel(2) = 3 * Wurzel (2)
Nun, das ist ja schnell gezeigt:
wäre 3*Wurzel(2) rational, müsste zwansläufig auch Wurzel(2) rational sein, da aus
3 * Wurzel(2) = p/q {p und q € iN)
unmittelbar folgt
Wurzel(2) = p/(3q)
und somit auch rational wäre.