Wurzel jeder Primzahl irrational?
Die Frage stimmt für die ersten beiden Primzahlen. Wurzel 2 und Wurzel 3 sind irrational. Gilt die Frage für jede Primzahl? Kennt jemand ein Beweis dazu?
4 Antworten
Eine Wurzel ist entweder eine ganze Zahl oder irrational.
Das stimmt so nicht, wie unten beschrieben. Ein Bruch aus Quadratzahlen hat ebenfalls eine rationale Wurzel.
Da eine Primzahl X nach definition nur durch sich selbst oder 1 teilbar sein soll, kann sie nicht durch eine Wurzel von X teilbar sein.
Ich habe jetzt etwas gegoogelt: Du findest sehr schnell Beweise für Deine Frage. Der Satz am Anfang meiner Antwort wird darüber bewiesen, dass Wurzeln von Primzahlen irrational sind :-D.
Doch, die Wurzel von 1/4 ist 1/2, denn (1/2)^2=1/4
Man kann allgemein beweisen dass Wurzeln von Primzahlen irrational sein müssen:
Sei p eine Primzahl, angenommen, es gibt eine rationale Zahl der Form a/b, wobei a und b natürliche Zahlen sind und teilerfremd, sodass (a/b)^2=p gilt
Dann folgt:
a^2=p*b^2
Somit folgt Dass p a^2 teilt.
Da a^2 ein Produkt ist und p Prim, muss p einen Faktor teilen, somit ist a durch p teilbar.
Somit lässt sich a als Produkt p*n schreiben, wobei n eine natürliche Zahl ist.
Somit folgt:
p^2*n^2=p*b^2
Bzw:
p*n^2=b^2
Jetzt folgt jedoch wieder, dass p ein teiler von b ist. Somit ist p ein gemeinsamer Teiler von a und b, es wurde jedoch gefordert, dass a und b teilerfremd sind, somit haben wir einen Widerspruch, die Wurzel aus p kann nicht rational sein.
Genauso kann man dann zeigen dass produkte von Primzahlen, wobei jede Primzahl genau ein Mal vorkommt, irrational sind.
Wenn du quadrierst gilt:
a*a=b -> Wurzel(b)=a oder b/a=a
Wenn b also eine Primzahl sein soll kann a keine ganze Zahl sein, da Primzahlen nur wenn sie durch sich selbst oder 1 geteilt werden eine ganze Zahl ergeben.
Alle Quadratwurzeln sind irrational, mit Ausnahme der Quadratwurzeln, die aus Quadratzahlen gezogen werden.
Da Primzahlen niemals Quadratzahlen sein können, weil sie sonst einen Teiler außer sich selbst und eins hätten, müssen demzufolge alle Quadratwurzeln aus Primzahlen irrational sein.
"Alle Quadratwurzeln sind irrational ..."
So ist das natürlich falsch. Man müsste präzisieren: "Alle Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen sind entweder ganzzahlig oder aber irrational."
Ich bin erstaunt über deine rasche Antwort, wo die Frage ja schon Monate alt war. Schönen Abend !
Eine Wurzel ist entweder eine ganze Zahl oder irrational.
Wurzel aus 1/4 ist nicht 1/2