Wo ist der Punkt H (Vektorrechnung)?
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (1/2/3), B(5/0/-1) und D(-1/6/-1) gegeben. Durch das Quadrat ABCD und den Punkt S(6/7/1) ist eine Pyramide mit der Spitze S gegeben. Der Mittelpunkt M der Fläche ABCD liegt bei M (2/3/-1)
Berechne die Koordinaten des Punktes H, der von A,B,C, D und von S jeweils die gleiche Entfernung hat.
Wer hat eine Idee und kann mir bitte helfen. Mein Ansatz war Punkt C berechnen.
C(3/4/-5). Dann habe ich vieles ausprobiert. Komme aber nicht drauf. Zeichnerisch konnte ich sehen, dass der Abstand 4,5 cm beträgt. Das Problem sollte aber rechnerisch gelöst werden. H habe ich leider nicht heraus bekommen.
Vielen lieben Dank für jede Hilfe.
Ich habe D falsch angegeben. Leider ein Tippfehler. D (-1/6/-1)
3 Antworten
Ich meine, dass man C gar nicht braucht. Der gesuchte Punkt P muss auf MS liegen. Geradengleichung dazu aufstellen und |PS| = z.B. |PA| setzen.
Wenn ich IPAI=IPAI aufstelle habe ich zu viele Unbekannt und komme nicht auf den gesuchten Punkt H
Der Punkt H muss auf der Geraden MS liegen (weil ABCD ein Quadrat ist):
g(t) = M + t*(S-M) = (2,3,-1) + t*(4,4,2)
quadratische Distanzen A,H und S,H:
dist²(A,H) = (1 - (2+4*t))² + (2 -(3+4*t))² + (3 - (-1+2*t))² = 36t² + 18
dist²(S,H) = (6 - (2+4*t))² + (7 -(3+4*t))² + (1 - (-1+2*t))² = 36t² - 72*t + 36
Beide Distanzen gleichsetzen (hoho, keine quadratische Gleichung):
Lösung t = 1/4
H = g(1/4) = (3, 4, -0.5)
Abstand beträgt 4.5
Das war eine Mega Hilfe. Vielen vielen lieben Dank. Leider hatte ich bisher die quadratische Distanz noch nicht. Ich habe versucht etwas darüber zu finden. Leider bisher erfolglos...
Suche bitte nach "Abstand zweier Punkte berechnen". Bei der Formel wird am Ende die Wurzel gezogen. Das spart man sich hier der Einfachheit halber, denn es geht es nur um Gleichheit. Aus a = b folgt sqrt(a) = sqrt(b), falls a > 0, b > 0. Da es sich um Strecken handelt, ist das hier der Fall.
Habe ich das richtig verstanden, dass man den Abstand von 2 Punkten in einem dreidimensionalen Raum mit der Formel der quadr. Distanz berechnet?
Also würde 1/2• Vektor M - Vektor S rechnen
1/2, weil die Mitte der Fläche ABCD M und S, H ist. Ich schau aber gleich mal in meinen Unterlagen nochmal nach
Ich bin gespannt, da ich nicht glaube, dass es 1/2 Vektor MS ist. Ich probiere es ständig mit Geraden und Schnittpunkt berechnen. Komme aber trotzdem zu keinem Ergebnis...
Hmm, vielleicht über die vektorielle Geradengleichung? Setzt (Vektor M+ 1/2• Vektor S)
Die Geradengleichung MS habe ich. Aber dann?