Wie zeichne ich Ober- und Untersumme ein und rechne ich diese aus, wenn der entscheidende Teil des Graphen unter der x-Achse liegt?
Wir haben in der Schule (Kl. 11) gerade die Integralrechnung. Wir haben gelernt, dass man sich bei dem Annäherungsverfahren der orientierten Flächeninhalte bei Ober- und Untersumme bei der Obersumme immer an den größten und bei der Untersumme immer an den kleinsten Funktionswerten im Intervall orientiert. Jetzt liegt der Graph unter der x-Achse, sodass man bei der Orientierung an den größten Funktionswerten natürlich den kleinsten Flächeninhalt herausbekommt. Der orientierte Flächeninhalt ist aber ja der kleinste, da er negativ ist. Ist das was ich da einzeichne und ausrechne jetzt Ober- oder Untersumme? Das versteh ich irgendwie nicht... Achja.. die Funktion ist monoton steigend... Wenn mir jmd helfen könnte, wäre ich sehr dankbar... LG
3 Antworten
Mir scheint, Du hast das voll durchblickt!
Einzige Anmerkung: Bei der Obersumme multiplizierst Du die Breite der Intervalle jeweils mit den größten Funktionswerten (also den kleinsten negativen). Dann erhältst Du insgesamt natürlich ein negatives Ergebnis!!
Was lernt uns das? Ein Integral kann auch negativ werden. Und damit rechnest Du nicht unbedingt den Flächeninhalt aus.
Beispiel: Deine Funktion gibt Dir die Geschwindigkeit eines PKWs an - negative Geschwindigkeit bedeutet dann, dass der PKW rückwärts fährt.
Das Integral über einem Intervall gibt Dir dann an, wie weit Du Dich in dieser Zeit insgesamt vom Startpunkt zu Beginn dieses Intervalls wegbewegt hast; das Vorzeichen gibt dann die (Gesamt)Richtung an.
So kann es also durchaus sein, dass das Integral den Wert 0 hat (Funktionswerte liegen teils im Positiven, teils im Negativen). Dann wärest Du möglicherweise die gesamte Zeit gefahren, befindest Dich zum Schluss aber wieder am Anfangspunkt (soll ja vorkommen :-) ).
Du musst das Integral des Graphen getrennt betrachten, du musst dieses für den Fall berechnen, dass der Graph über der X-Achse liegt, und gesondert dazu, wenn er unter dieser liegt. Nun zu deiner Frage. Betrachte einfach den Betrag von den Y-Werten, also tue einfach so, als ob das + und - auf der Y-Achse vertauscht worden wäre, dann geh einfach so weiter vor, wie du es im Unterricht gelernt hast.
Betrag: (Beispiel)
I6I = 6
I(-7)I = 7
I0I = 0
Im Endeffekt rechnest du eigentlich:
I(x)I = (x²)^(1/2) II (...)^1/2 = Quadratwurzel
Dabei quadrierst du zuerst das x und ziehst dann anschließend die Wurzel, dadurch erhälst du stets, egal ob positiv oder negatives x, das positive x.
Das ist etwas, worauf man von Anfang an achten muss:
man darf immer nur von Nullstelle bis Nullstelle integrieren.
Die Flächengrößen dann ohne Vorzeichen addieren!
Wenn man über ein Nullstelle kommt, wird gnadenlos automatisch subtrahiert.
Verifizierung: Integriere mal y = x³ von -2 bis +2 durchgehend und dann von -2 bis 0 sowie von 0 bis +2.
Vielen dank! ich glaub ich habs jetzt in der Hausaufgabe richtig hinbekommen ;)