Wenn ein Graph fällt.... wird dann die Untersumme zur Obersumme?
siehe Frage,
PS: Danke schonmal für die Antworten
4 Antworten
Die Untersumme wird ja immer so gebildet, dass man die Streifenbreite festlegt und dann schaut, wie hoch man den Streifen machen muss, damit die Streifenfläche möglichst klein wird, sie aber dennoch an einer Stelle der Oberkante die Funktion berührt... Etzwas umständlich asugedrückt.
Nehmen wir mal an, wir haben eine Funktion, die positiv ist, dann kann man das leichter beschreiben, wenn sie negativ ist geht das im Prinzip genauso, bloß "andersrum". Also bei der positiven Funktion liegen damit die unteren beiden Ecken genau auf der x-Achse. Wo jetzt die obere Kante liegt, hängt aben ganau davon ab, wie die Funktion aussieht. Weil es ben die Untersumme sein soll, wir die Höhe so geählt, dass die Funktion ddie Oberkante nicht schneidet, aber an mindestens einer Stelle berührt (Schau dir doch mal das Bild auf http://de.wikipedia.org/wiki/Untersumme an) Und damit ergibt sich: Wenn die Funktion monoton steigend ist, dann MUSS die linke obere Ecke auf der Funktion liegen. Denn da die Funktion monoton steigt, ist die "links" am niedrigsten. Wenn die Funktion dagegen sinkt, muss man für die Untersumme die obere rechte Ecke auf die Funktion setzen. Wenn die Funktion jetzt in diesem Berecih ab er bspw. erst sinkt und dann steigt, dann ist gar keine Ecke auf der Funktion, sondern die Funktion wird "irgendwo in der Mitte", nämlich am Tiefpunkt der Funktion, berührt (Siche im Wikipedia Bild den rechten Streifen).
Also: Wenn die Funktion fällt, wird natürlich nicht die Obersume zur Untersumme, weil eben die Obersumme immer die größtmögliche und die Untersumme die kleinstmögliche Abschätzung ist. Aber: Bei einer monoton steigenden (und positiven) Funktion liegt bei der Untersumme eben immer das obere linke Eck auf der Funktion und bei der Obersumme das rechte obere Eck. Wenn man jetzt eine monont fallende (aber immer noch positive) Funktion hat, so wächselt dies. Ich vermute dass es das ist, was du meintest,
Und könntest du mir evtl noch bei einem anderenProblem helfen?
http://www.gutefrage.net/frage/integralrechnung-un-und-on-berechnen
nee, Untersumme immer kleiner als Obersumme
Man pickt sich ja bei der Untersumme jeweils den kleinsten y-Wert des zugehörigen Intervalls raus und multipliziert ihn mit der Intervall-Länge. Ob dieser y-Wert nun negativ oder positiv ist oder ob der Graph zwischendurch fällt oder steigt, ist dafür ja vollkommen unwichtig.
Was du dir bei der Frage vielleicht gedacht hast, ist folgendes: Wenn ich eine Funktion habe, deren Funktionswerte alle negativ sind (z.B. f(x) = -x²) und wenn ich die Untersumme wieder mit den kleinsten Werten bilde, dann sind die Balken ja länger als die von der Obersumme. Also wäre die Untersumme größer als die Obersumme und das wäre ja Unfug.
jein! Betraglich betrachtet stimmt das offenbar, aber man darf nicht vergessen, dass sich Mathematiker nunmal auch für das Vorzeichen interessieren. Und da bei solchen Funktionen die Ober/Untersummen immer negativ sind und der Betrag der Untersumme größer ist als der der Obersumme, ist die Untersumme kleiner als die Obersumme ( |5| > |4|, also - |5| < - |4|)
Vielen Dank für deine Antwort! Das ist genau die Frage die ich mir gestellt habe!
Allerdingd verstehe ich den unteren Absatz nicht so ganz...
Und könntest du mir evtl noch bei einem anderenProblem helfen?
http://www.gutefrage.net/frage/integralrechnung-un-und-on-berechnen
mE nö; Obersumme hat einen Rechtecks-Streifen mehr als die Untersumme.
Danke! Das ist genau das was ich meine! Dannlieg ich ja mit meiner Vermutung richtig!!