Integralrechnung Probleme?
Hallo,
ich schreibe morgen eine Mathe Klausur und habe bei einer Aufgabe Probleme. Die Funktion ist folgende: f(x)= x^2 Intervall= [0;x]. Ich soll die Obersumme n und die Untersumme n berechnen. Übrigens ist gefragt welcher Grenzwert sich für n --> unendlich ergibt. Kann mir jemand helfen? Siehe Bild (Aufgabe 4)
Danke
3 Antworten
du gehst von 0 bis 10, somit hat jeder Balken eine Breite von 10/n und der i-te Balken (i in [1, 2, ...,n] ) hat eine Höhe von f(i*10/n) bzw f((i-1)*10/n). Jetzt musst du diese Summe über i bilden ggf (i-1)² ausmultiplizieren, die angegebenen Formeln verwenden und schließlich n->infinity bilden.
Wenn du wirklich von 0 bis x integrieren willst, dann ersetz einfach überall die 10 durch x, das macht in der Rechnung aber keinen Unterschied.
Hallo,
als Beispiel Aufgabe 4e)
f(x)=2x²+1 im Intervall [0;2] mit Unterteilung in vier Rechtecke.
Du teilst das Intervall in vier gleich große Bereiche ein, die alle (denn 2-0=2 und 2/4=1/2) eine halbe Einheit auseinanderliegen.
Du ziehst also jeweils von 2; 2,5; 3; 3,5; und 4 auf der x-Achse Senkrechten hoch und liest auf der y-Achse ab (oder berechnest) bei welchem Wert sie auf den Graphen treffen.
Du bekommst die 5 Wertepaare (0|1), (0,5|1,5), (1|3), (1,5|5,5), (2|9)
Aus den fünf senkrechten Linien kannst Du vier Rechtecke basteln, deren Breite jeweils eine halbe Einheit ist und deren Höhe entweder der Wert, an dem die jeweils linke Senkrechte auf den Graphen trifft (Untergrenze) oder an dem die rechte Senkrechte, also der Funktionswert des nächsthöheren x-Wertes auf den Graphen trifft.
So bekommst Du für die Untergrenze folgende vier Rechtecke:
0,5*1; 0,5*1,5; 0,5*3, 0,5*5,5
Die Summe ihrer Flächen: 0,5*(1+1,5+3+5,5)=5,5 FE
Bei der Obergrenze nimmst Du den jeweils höheren Funktionswert:
0,5*(1,5+3+5,5+9)=9,5 FE.
Das erste Ergebnis ist zu niedrig, das zweite zu hoch. Die Wahrheit liegt irgendwo dazwischen. In je mehr Rechtecke Du das Intervall einteilst, desto genauer triffst Du die tatsächliche Fläche der Kurve. Sind es unendlich viele unendlich schmale Rechtecke, wirst Du bei der genauen Fläche landen.
Das ist das Prinzip der Integralrechnung, die für die Berechnung von Flächen unter Kurven die Flächen unendlich vieler unendlich schmaler Rechtecke im gewünschten Intervall aufsummiert und sich so der tatsächlichen Fläche unendlich nah annähert.
Die tatsächliche Fläche bei dieser Funktion liegt im Intervall zwischen 0 und 2 bei 7,333 FE, wenn man sie über die Stammfunktion F(x)=(2/3)x³+x berechnet, indem man F(2)-F(0)=7,333-0=7,333 FE rechnet.
Herzliche Grüße,
Willy
4c) da steht (0;10) und nicht (0;x)
Ober- und Untersumme mach mal selber- das ist viel Arbeit.
Tipp: bei 4c) mit n gegen unendlich = 1000/3
Habe vergessen zu erwähnen dass mein Mathe Lehrer diese Aufgabe ein bisschen verändert hat. Statt Intervall [0;10] muss ich es mit dem Intervall [0;x] machen.
die mit den Intervallen(0;10)
Beim Ausklammern kriege ich noch folgendes heraus:
Un= 10/n^3 [ 10^2 + 20^2 + (10n-1/n) heraus, aber leider komme ich einfach nicht weiter.
U = 10/n • [(1• 10/n)² + (2•10/n)² + (3•10/n)² + .......+((n-1)•10/n)²]
Formel suchen für: 1²+2²+3²+....n² und diese Formel für (n-1) verwenden;
(10/n)² wird ausgeklammert;
10/n • 10²/n² • [(n-1)n(2n-1+1)/6]
1000/n³ • [(n-1)n•2n/6]
n² kürzen
2000/6 • (n-1) /n
=
1000/3 • (1- 1/n)
n gegen unendlich
=
1000/3
Servus,
Es wäre sehr lieb von Ihnen, falls Sie mir bei der Aufgabe weiter helfen könnten, denn ich bleibe einfach stehen und bin am Verzweifeln.