Differenz von Obersumme has Untersumme bei der Quadratfunktion?
Hallo, kann mir bitte memane bei dieser Aufgabe Helen?! Ich Weiß, wie man die Untersumme und Obersummer berechnet aber ich weiß nicht, wie ich die Differenz von Obersumme und Untersumme bei der Quadratfunktion berechnen soll. Ich habe hier nut die Ober- und Untersumme berechnet aber ich habe b^3/3 und nicht so b^3/n als Endergebnis bekommen. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe ( a+ b) hilft . Vielen Dank im Voraus
1 Antwort
Die Angabe in der Aufgabe ist falsch, denn natürlich ergibt sich b^3/3 (das Integral von b^2). Du hast richtig gerechnet, trotzdem sind in Deiner Rechnung ein paar Flüchtigkeitsfehler:
Untersumme:
Die Summe k^2 für k=0 ...(n-1) ergibt n(n-1)(2n-1)*1/6
Der Term
n(n-1)(2n-1)*1/6 * (b/n)^3
Ergibt
b^3 ( 1/(6n^2) - 1/(2n) + 1/3 )
Für n -> inf ergibt das b^3/3.
Obersumme:
Die Summe k^2 für k=1 ...n ergibt n(n+1)(2n+1)*1/6
Der Term
n(n+1)(2n+1)*1/6*(b/n)^3
Ergibt
b^3 ( 1/(6n^2) + 1/(2n) + 1/3 )
Für n -> inf ergibt das b^3/3.
Das Integral der Funktion f(x) = x^2 lautet F(x) = x^3/3.
Das ist keine Abschätzung, sondern eine exakte Aussage, die mithilfe der hier benutzten Unter- und Obersummen bewiesen wird.
Umgekehrt entspricht die Ableitung von F(x), also F'(x) dann wieder f(x).
Falls Du mit dem Thema Ableitung/Integral noch nicht vertraut bist, würde eine exakte Erklärung den Rahmen hier sprengen. Prinzipiell kann man F(x) dazu nutzen, um die von f(x) und der x-Achse eingeschlossene Fläche in einem bestimmten Intervall zu berechnen.
Vielen Dank, ich habe gerade meinen Fehler erkannt und können Sie mir bitte sagen was bedeutet das Ergebnis (b^3/3) für die Abschätzung ded Integrals?😬