Wie viele gleichgroße Quadrate passen in ein Rechteck?
Gegeben sind alle notwendigen Informtionen.
Was ist also der Rechenweg?
8 Antworten
Nach dem was ich hier so lese scheint als ist deine Fragestellung in Wahrheit die folgende:
Gegeben ein Rechteck der Länge l und Breite b.
Für ein gegebenes n soll die maximale Größe q bestimmt werden, sodass mindestens n Quadrate mit den Maßen q x q ohne zu überlappen im Rechteck platz haben.
Arbeitshypothese: angenommen l_2 Quadrate übereinander und b_2 Quadrate nebeneinander ergeben n = l_2 * b_2 Quadrate und überdecken zusammen ganz genau das Rechteck, also l_2 * q = l und b_2 * q = b.
Dann ist l/l_2 = q = b/b_2
Notiz: mit konkreten Zahlen l, q und n wäre das deutlich einfacher!!^^
Es gilt auch: b_2 = b*l_2/l und somit auch n = l_2 * l_2*b/l also l_2 = Wurzel(n*l/b) sowie äquivalent b_2 = Wurzel(n*b/l)
Nun ist die Arbeitshypothese aber im Allgemeinen nicht richtig.
Wurzel(n*l/b) bzw Wurzel(n*b/l) brauchen nichtmal Ganzzahlen zu sein, für b_2 und l_2 werden aber Ganzzahlen benötigt.
Wenn wir beide Wurzeln aufrunden, so erhalten wir mindestens Wurzel(n*l/b)*Wurzel(n*b/l) = Wurzel(n²) = n Quadrate, was diese Schranke schonmal erfüllt.
Setzen wir also nun l_2 = Aufgerundet(Wurzel(n*l/b)) und b_2 = Aufgerundet(Wurzel(n*b/l)), so kann immer noch sein, dass l/l_2 und b/b_2 unterschiedliche Werte ergeben.
Setzen wir also q auf Minimum(l/l_2; b/b_2), so ist sicher gestellt, dass l_2 Quadrate übereinander und b_2 Quadrate nebeneinander passen.
Unterm Strich bedeutet das, dass q = Minimum(l/Aufgerundet(Wurzel(n*l/b)); b/Aufgerundet(Wurzel(n*b/l)) ), so ist sicher gestellt, dass n Quadrate der Größe q x q ohne zu überlappen in ein Rechteck der Größe l x b passen.
Falls die beiden Wurzeln Ganzzahlig sind, das Aufrunden also nichts ändert UND beide Werte im Minimum gleich sind bedeutet dies, dass die Arbeitshypothese richtig ist und somit ist q dann trivialerweise maximal groß ausgerechnet.
Andernfalls kann es sein, dass durch eine andere Anordnung auch Quadrate mit größerem q passen könnten.
Testbeispiel1 n = 14, l = 3, b = 5 dann ist Wurzel(n*l/b) = Wurzel(8,4) und Wurzel(n*b/l) = Wurzel(23,333) beides keine Ganzzahlen, aufgerundet ergibt sich l_2 = 3 und b_2 = 5.
In dem Fall ist sowohl l/l_2 als auch b/b_2 = 1, also ist 1 EINE Lösung
Testbeispiel2 n = 11, l = 3,1; b = 5 dann ist Wurzel(n*l/b) = Wurzel(6,82) und Wurzel(n*b/l) = Wurzel(17,74) beides keine Ganzzahlen, aufgerundet ergibt sich l_2 = 3 und b_2 = 5.
In dem Fall ist l/l_2 = 3,1/3 und b/b_2 = 1 das Minimum davon ist 1.
ohne Beweis behaupte ich nun, dass die oben genannte Rechnung q maximal löst, dies ist aber nur eine Überlegung aber kein Beweis.
Sicher ist, dass wenn man l_2, b_2 und q wie oben ausrechnet, dass sie dann wie oben ins Rechteck angeordnet werden können und dass diese Anordnung entweder horizontal oder vertikal an die Grenzen des Rechtecks stösst.
Um die Grenzen meiner Rechnung zu ermitteln, ermittel ich nun für n=11 und l=3 ein sehr großes b, sodass immernoch die Anordnung mit l_2 = 3 und b_2 = 5 raus kommt also Wurzel(11*b/3) >4 und <=5 sowie Wurzel(11*3/b) >2 und <=3.
Um b groß zu machen sind die Grenzen Wurzel(11*b/3) <=5 und Wurzel(11*3/b)>2 entscheidend, also 11*b/3 <=25 und 11*3/b >4 also b <= 25*3/11 und b < 11*3/4 also b <= 6,8181... und b < 8,25, nehmen wir also einfach mal b=6,8
Probe: Wurzel(n*l/b) = Wurzel(4,85) = 2,2 aufgerundet ergibt das 3
Wurzel(n*b/l) = Wurzel(24,9333) = 4,993 aufgerundet 5.l/l_2 = 1 und b/b_2 = 6,8/5 also errechnet sich q zu 1.
Es ist allerdings offensichtlich, dass bei dem so errechneten q die Anordnung
x
xxxxx
xxxxx
schlechter ist als
xxxxxx
xxxxx
, denn unten ergäben sich Gesamtausmaße 2x6 sodass weder die volle Breite noch die volle Länge des Rechtecks voll ausgenutzt wird, sodass hiermit bewiesen ist, dass auch ohne die Quadrate schräg anzuordnen der oben genannte Rechenweg zwar zu einem q führt, aber im Allgemeinen nicht zu dem größten q.
Ein besseres Ergebnis kriegt man, wenn man die Wurzeln wie oben ausrechnet und dann für alle Kombinationen von l_2 und b_2 die ungefähr dort liegen ausrechnet welche davon miteinander multiplitziert größer sind als n um dann zu schauen für welche von denen Minimum(l/l_2; b/b_2) das größte q ergeben, sodass man mehr als nur eine Anordnung betrachtet (unter anderem die oben genannte) und daher ein q was mindestens genauso groß ist wie das oben errechnete, evtl aber auch noch größer, also näher am Maximum.
Ich vermute, dass unter allen möglichen Rechteckanordnungen die optimale Rechteckanordnung recht nah an der oben errechneten Rechteckanordnung liegt, das ist allerdings weder trivial, noch ist gesagt, dass es stimmt.
Ich vermute sogar darüber hinaus, dass eine Rechteckanordnung stets die beste Anordnung ist, also quer stellen niemals einen Vorteil bringt.
Wenn ich noch einen zweiten Algorithmus entwickel, der länger braucht, also mehr Rechenzeit braucht und den auch noch analysiere sprenge ich sowohl den Rahmen des Postings, als auch die Zeit, die ich maximal für eine solche Fragestellung gern investiere.
Auch diese Vermutungen weiter zu überprüfen spare ich mir nun.
Würde mich sowieso wundern, wenn wer bis hierhin liest, aber du siehst vielleicht wie man so eine Fragestellung behandeln kann.
p.s. hier merkt man vielleicht warum ich so Spaß dran hatte meinen Bachelor in Mathematik zu machen^^
Das hat was von Knobelrätselei^^
p.p.s. ich hätte gerne ein Foto von der Aufgabe, ob die wohl wirklich so gemeint war^^
Angenommen, man möchte in ein Rechteck N gleich grosse Quadrate packen.
Das Rechteck hätte die Maße L * B.
Ein Quadrat die Kantenlänge a.
Dann könnte man L/a Quadrate der Länge nach legen und B/a Quadrate der Breite nach. Ist aber nicht richtig, denn man müsste vorher die nächst kleinere ganze Zahl von L/a und B/a bestimmen (weil die Quadrate nicht teilweise eingepasst werden können).
n1 = Nächst kleinere ganze Zahl ( L/a )
n2 = Nächst kleinere ganze Zahl ( B/a )
Ausserdem muss n1 * n2 = N gelten.
Ich kenne keine Formel, die das Problem allgemein löst.
Wenn das Rechteck Seitenlänge a und b hat und du dich fragst wieviele Quadrate der Größe c mindestens da rein passen, so lautet die Antwort:
a/c abgerundet mal b/c abgerundet.
z.B. 1x1 Quadrate in 1.9x2.9 Rechteck mindestens zwei.
Allerdings kann ich nicht ohne weiteres ausschliessen, dass wenn man die Quadrate statt in eine Ecke anzuordnen schief rein legt, dass nicht evtl mal mehr Quadrate rein passen könnten.
Evtl ist das nicht Möglich. Zumindest bei 5x5 und 9x14 habe ich es nicht geschafft, was aber immer noch kein Beweis ist, dass das grunsätzlich nicht besser geht.
Hallo Googy,
das ließe sich beantworten, wenn alle notwendigen Informationen hier zu sehen wären.
In ein Rechteck mit 3cm x 4 cm passen 12 gleichgroße Quadrate mit 1 x 1 cm.
In ein Rechteck von 3 m x 4 m passen 12 Millionen gleichgroße Quadrate mit 1mm x 1mm.
Wenn ich also 24 gleich große Quadrate in ein 1000*1750 großes Rechteck wollte, was wäre dann die Seitenlänge eines Quadrats?
Der Flächeninhalt des rechtecks wäre dann 1000 x 1750 = 1 750 000.
Du teilst durch 24 und erhältst den Flächeninhalt eines Quadrates: 72916,67.
Aus dieser Zahl ziehst du die Quadratwurzel und hast die Seitenlänge des Quadrats: 270,03.
Die Zahlen sind gerundet, da bereits die erste Teilung einen periodischen Dezimalbruch ergibt.
Sollten jedoch Rechteck und Quadrate gleichen Flächeninhalt haben, dann passt überhaupt kein Quadrat in das Rechteck.
@nadelwald75
Die Lösung ist falsch, denn in der Länge 1000 passen nur 3 Quadrate, und in der Länge 1750 nur 6 Quadrate, macht zusammen 18 Quadrate.
Zum einen passt die Frage, wie groß n gleich große Quadrate sein dürfen, damit sie in ein Rechteck der Länge a und Breite b passen, nicht zu "Wie viele gleichgroße Quadrate passen in ein Rechteck?"
Zum anderen stimmt der Rechenweg nicht. Ist nur eine Abschätzung, die davon ausgeht, dass man die so anordnen kann, dass das passt.
einfaches Beispiel: wie groß darf ein einziges Rechteck sein, damit es in ein Rechteck der Größe 2 x 3 passt?
Nach deiner Rechnung Wurzel(6) was aber nicht stimmt.
Aber evtl kann man das ja nutzen um der Wahrheit näher zu kommen.
Sag genau eins!
Denn ein Quadrat (gleichseitiges Rechteck) ist auch ein Rechteck.
---------
Die Frage ist aber auch ungenau, es können auch unendlich viele sein.
ein Quadrat ist ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
die Aufgabe hat sich schon erledigt, es war keine Rechenaufgabe in dem Sinne, es ging um eine geometrisch-minimalistische Vektorgrafik, die ich designt habe, bei der ich bei bestimmtem Format eine ganze Anzahl an Quadraten anordnen wollte. Zum Glück hat das Programm diese Rechnerei bei Eingabe bestimmter Parameter schon gelöst, wodurch ich mir zum Glück einen seitenlangen Lösungsweg wie diesen ersparen konnte. Aber wenn du daran Spaß hast, solche Knobelaufgaben zu lösen, dann ist das ja toll! Wie lange hast du für diese Antwort eigtl gebraucht? Muss ja teure Zeit gewesen sein^^