Wie rechnet man eine Wurzel durch schätzen oder rechnerische überlegungen?
Beispiel die Wurzel aus 27,3529 wie rechnet man diese Wurzel im Kopf ohne Taschenrechner gibt es da Tricks ?
8 Antworten
Ich würde das mithilfe von vereinfachter Intervallschachtelung im Kopf lösen.
Den Nachkommaanteil lassen wir mal weg, wir runden ab auf 27.
Die nächstkleinere Quadratzahl ist die 25 mit 5², die nächstgrößere die 36 mit 6².
Wir wissen also, dass 5 < √27 < 6.
Und da 27 weitaus näher bei 25 liegt als bei 36, ist das auch bei der Wurzel der Fall, also gilt:
5 < √27 < 5,5
Das wäre die triviale Lösung dieser Quadratwurzel in einem Bereich, weiter können wir sie so jetzt nicht eingrenzen.
Man könnte sich der Wurzel im Kopf natürlich noch weiter annähern, das ist dann aber eher etwas für die Erfahrenen, denn nicht viele können Zahlen mit Nachkommastellen im Kopf quadrieren (allenfalls mit Verschiebung des Kommas und den binomischen Formeln, aber auch das ist im Kopf eher anspruchsvoll).
LG Willibergi
Dazu muss man gedanklich ein paar Quadratzahlen kennen.
6 ^ 2 = 36
5 ^ 2 = 25
≈ bedeutet gerundet
27,3529 ≈ 27
(36 - 25) = 11
(27 - 25) = 2
2 / 11 ≈ 0.2
5 + 0.2 = 5.2
Ich würde daher schätzen (!!), dass 5,2 ^ 2 in etwa 27 sind.
Das kann man wirklich im Kopf ausrechnen, wenn man geübt ist, aber es ist lästig und bestimmt auch fehleranfällig.
Ich würde es mit Intervallschachtelung machen.
Die Zahl 27,3529 liegt zwischen den Quadratzahlen 25 und 36
5² < 27 < 6²
Damit erhält man die erste Stelle
Wurzel 27,3529 = 5,...
Die weiteren Nachkommastellen kann man mit weiteren Intervallschachtelungen bestimmen. Eine Hilfe sind die binomischen Formeln.
52² = (50 + 2)² = 50² +2*50*2 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704
53² = (50 + 3)² = 50² + 2*50*3 + 3² = 2500 + 300 +9 = 2809
Wurzel 27,3529 = 5,2...
ich persönlich würde so vorgehen:
1. Zahl anschauen
2. Überlegen was die Wurzel einer Zahl ist, die in der Nähe liegt
oder
2. Überlegen, welche Zahl zum ² ungefähr an die Zahl rankommt
Hier würde ich sehen, dass 5² gleich 25 ist
3. Dann die Zahl auf die ich gekommen bin, entweder etwas kleiner oder größer machen, je nachdem ob unsere gesuchte Zahl größer oder kleiner ist.
4. 27,3529 > 25 -> Dass ich 5 etwas größer machen muss
5. Schauen, was z.b. das ² von 5,5 -> ~30 (30,25 um genau zu sein)
6. -> Zahl muss irgendwo zwischen 5 und 5,5 liegen, dann etwas mit den Zahlen rumprobieren (5,1² - 5,4² kann man normalerweise im Kopf rechnen)
So würde ich vorgehen. Vielleicht hilft es ja :)
Lg Tobi
Im Kopf kann man die Wurzel ganz einfach finden, indem man das Komma erstmal sich wegdenkt. Dann stellt man sich ein Montessori-Brett vor, wie es zum Beispiel in dem Link oben zu sehen ist.
Man kann auch einfach Karos auf dem Papier ausmalen mit drei verschiedenen Farben. Als erstes nimmt man die 27 und malt mit einem roten Stift soviele Kästchen aus, dass es ein Quadrat ergibt. 25 passen in das Quadrat, 2 bleiben übrig.
Die 2 übriggebliebenen behält man im Kopf als Zehnerstelle und nimmt die nächste Ziffer, die 3, hinzu und erhält 23. Also malt man nun mit blau rechts neben dem Quadrat und links unter dem Quadrat soviele Kästchen an, dass sich auf beiden Seiten zwei gleichgroße Rechtecke bilden. Es passen dort 20 blaue Kästchen hin. Die übrigbleibenden 3 behält man im Kopf.
Die 3 wandelt man nun in die nächste Zehnerstelle um, also in 30, und nimmt die nächste Ziffer, also die 5, hinzu, so dass man 35 Kästchen jetzt mit grün ausmalen muss. Zwischen den beiden blauen Rechtecken füllt man das Quadrat grün aus und verteilt die übrigen Kästchen auf zwei Rechtecke unter dem unteren Blauen unten und rechts neben dem rechten Blauen.
Dies Verfahren macht man weiter mit rot, blau, grüner Farbe abwechselnd, bis alle Ziffern verbraucht wurden, und erhält schließlich ein großes Quadrat aus blauen, roten und grünen Rechtecken und Quadraten. Zum Schluss schaut man sich den unteren Rand des großen Quadrates an. Dort findet man nun 5 grüne Felder, 2 rote Felder, 3 blaue Felder.
Jetzt kann man diese drei Ziffern nehmen und das Komma wieder hinzufügen, und erhält als Wurzel 5,23.
Ich finde, so macht das Wurzelrechnen am meisten Spaß.