Wie löst man diese Aufgabe (Trigonometrie)?
Hallo zusammen
Folgende Aufgabe kann ich nicht lösen?
Könnt ihr mir helfen?
Ein rechtwinkliges Dreieck ABC ist durch die Kathete b=65 und die Hypotenuse c=97 gegeben. Wie lang ist die Halbierende des kleinsten Innenwinkels?
Lösung wäre: Winkel β = 77.14
3 Antworten
Satz des Pythagoras c²=a²+b² ergibt a=Wurzel(c²-b²)=Wurzel(97²-65²)=72
1.Schritt: das rechtwinklige Dreieck zeichnen mit c=97 und a=65 und b=72
2. Schr.: Winkel (a) ausrechnen tan(a)=Gk/Ak ergibt (a)=arctan(Gk/Ak)
(a)=arctan=72/65=47,925°
3. Schr.: Winkel Beta (b) ausrechnen.Die Summe der Innenwinkel ist 180°
180°=(a)+(b)+90° ergibt (b)=180°-47,925°-90°=42,075..°
Wenn du nun den kleisten Winkel halbierst,dann entsteht wieder ein rechtwinkliges Dreieck und da wendest du cos(b/2)=Ak/Hy an
Hy=Ak/cos(b/2)=72/cos(42,075°/2)=77,14
TIPP: Solche Aufgaben löst man am besten zeichnerisch.Mann muss dann nur noch alles ausmessen.
Die Genauigkeit (ca, +/- 5 %) reicht dabei aus und wenn man es genau haben will,dann muss man das Ganze nochmal rechnen.
Mit der Zeichnung hat man dann immer einen genauen Überblick
Warum nimmst du nicht einfach den Sinussatz?
Die WinkelHALBIERENDE erzeugt ja zwei neue Dreieck von denen du jeweils zwei Winkel kennst und den dritten halt ausrechnen kannst. (Innenwinkelsumme)
Dann den Sinussatz anwenden, fertig!
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
Zuerst rechnest Du die Winkel aus, um zu sehen, welches der kleinste ist. Mit der Winkelhalbierenden durch diesen Winkel erhältst Du zwei neue Dreiecke. Dann wendest Du den Sinussatz an.
beta=sin^-1(65/97)=42,08°
=>alpha=90°-42,08°=47,92°
also ist beta der kleinste Winkel
Jetzt zeichnest Du durch beta die Winkelhalbierende.
Von den neuen Dreiecken wählst Du einfach eines aus. Hiervon kennst Du wieder alle Winkel. Jetzt einfach mit dem Sinussatz nach der Winkelhalbierenden umstellen.
("Winkel beta"=77,14 soll sicher "Länge der Winkelhalbierenden von beta"=77,14 heißen...)
Mit dem Sinussatz...: Mach' Dir am Besten bei sowas eine Skizze. Zeichnest Du die Winkelhalbierende durch Beta, nimmst Du Dir z. B. das neu entstandene Dreieck, welches den rechten Winkel Gamma enthält. Somit kennst Du alle Winkel gamma (90°), beta' (=beta/2=21,04°), alpha'=180-gamma-beta'=68,96° und a (=72).
Jetzt Sinussatz: (wb=Winkelhalbierende von beta)
wb/sin(gamma)=a/sin(alpha') |* sin(gamma)
wb=a * sin(gamma)/sin(alpha') |Werte einsetzen
wb= 72 * sin(90°)/sin(68,96°) |Taschenrechner
wb=77,14
(darauf achten, dass der Taschenrechner richtig eingestellt ist; kommt bei sin(90) der Wert 1 raus, dann ist er es...)
die ersten beiden Winkel habe ich schon richtig berechnet, doch die Länge von Beta (77.14) kriege ich einfach nicht.... Wie hast du das berechnet?