Wie löse ich diese Differentialgleichung (Trennen der Variable)?

Question

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Jetzt wird verlangt, dass man die Anfangswertaufgabe mit der Methode Trennen der Variblen löst und NICHT mit Lösen der zugehörigen homogenen Gleichung. Wie funktioniert das? Ich versteh nicht was man damit meint, wenn man es nicht mit der homogenen Gleichung lösen soll, braucht man die nicht auch für Trennen der Variable?

TBDRM · Accepted Answer

a)

Die Lösung der DGL ohne konketen Werte für m, F, k, v und der Integrationkonstanten c hast du bereits hier korrekt ermittelt.

Mit Trennung der Variablen bei einer DGL erster Ordnung kann man nur arbeiten, wenn sie in der Form

y(x)' = f(y(x))h(x)

vorliegt. Denn so kann man mit f(y(x)) dividieren und erhält

y'(x)/f(y(x)) = h(x)

wo die Variablen dann getrennt sind.

Bei dir steht nun

m v'(t) = F – k v(t).

Dividierst du mit m, erhälst du

v'(t) = (F – k v(t)) / m.

Also ist f(v(t)) = (F – k v(t)) / m und h(t) = 1.

Noch mit f(v(t)) dividieren und wir haben eine Trennung der Variablen abgeschlossen (wobei t als solche Variable nicht vorkommt):

v'(t) / f(v(t)) = h(t).

Jetzt bilden wir das Integral nach t.

Dafür substituieren wir u = f(v(t)). Daraus folgt du = f'(v(t)) v'(t) dt bzw.

v'(t) dt = du / f'(v(t)) = du / (– k / m). Wir erhalten also

int{ v'(t) / f(v(t)) }dt = int{ h(t) }dt

<=> int{ 1 / u }du / (– k / m) = int{ 1 }dt

<=> ln|u| / (– k / m) = t + c

<=> ln|u| = – k t / m – k c / m

<=> u = e^( – k t / m – k c / m)

<=> u = e^( – k t / m ) * C

wobei wir e^( – k c / m) zu einer neuen Konstanten C zusammengefasst haben. Jetzt noch resubstituieren.

F – k v = C * e^( – k t / m )

<=> v = – (C * e^( – k t / m ) – F) / k

und fertig.

Das kannst du dann natürlich auch mit konkreten Zahlen machen:

v'(t) = (F – k v) / m

=> 1200 kg * v'(t) = 360 N – 36 kg/s * v(t)

<=> 1200 kg * v'(t) / (360 N – 36 kg/s * v(t)) = 1

Integral nach t bilden:

1200 kg * int{ v'(t) / (360 N – 36 kg/s * v(t)) }dt = int{ 1 }dt

Substitution: 360 N – 36 kg/s * v = u => v'(t) dt = du / (– 36 kg/s):

1200 kg * int{ 1 / u }du / (– 36 kg/s) = int{ 1 }dt

<=> 1200 kg / (– 36 kg/s) * ln|u| = t + c

<=> ln|u| = – 36 t / (1200 s) – 36 c / (1200 s)

<=> 360 N – 36 kg/s * v(t) = e^( – 36 t / (1200 s) ) * C

<=> v(t) = – (C * e^( – 36 t / (1200 s) ) – 360 N) / (36 kg/s)

Wie sehen sofort, dass C die Dimension (Einheit) Newton haben muss. Als Plausibilitätskontrolle können wir die Dinemsion rechts anschauen.

N / (kg/s) = (kg*m/s^2) / (kg/s) = m/s.

Das ist eine sinnvolle Einheit für die Geschwindigkeit eines Bootes.

Jetzt lösen wir das Anfangswertproblem noch vollständig, indem wir v(0 s) = 1,4 m/s setzen, wie angegeben.

– (C * e^( – 36 * 0 s / (1200 s) ) – 360 N) / (36 kg/s) = 1,4 m/s

<=> C * e^0 – 360 N = – 36 kg/s * 1,4 m/s

<=> C = – 36 kg/s * 1,4 m/s + 360 N

<=> C = – 50,4 kg*m/s^2 + 360 N

<=> C = 309,6 N

also

v(t) = – (309,6 N * e^( – 36 t / (1200 s) ) – 360 N) / (36 kg/s)

<=> v(t) = – (8,6 * e^(– 0,03 t / s) – 10) m/s.

Man sieht - wie erwartet - Ähnlichkeit zur homogonen Lösung.

b)

Der Graph muss folgende Eigenschaften aufweisen:

- f(0) = 1,4

- f(x) —> 10 (x –> ∞)

- f(x) > f(y) <=> x > y

- beschränktes exponetielles Wachstum

Das sollte am Ende ungefähr so aussehen (man achte auf die unterschiedliche Skalierung der Koordinatenachsen):

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c)

Wir berchnen die Geschwindigkeit in m/s mittels der Funktion v an der Stelle t = 60 s, also v(60 s) ≈ 8,58 [m/s], und rechnen das Ergebnis in km/h um, also

8,58 m/s * 3,6 (km*s)/(m*h) ≈ 30,9 km/h.

d)

Die Beschleunigung ist die Ableitung von der Geschwindigkeit nach der Zeit, also v'(t).

v'(t) = d{ –8,6 m/s * e^(–0,03 t / s) – 10 m/s }/dt

v'(t) = –8,6 m/s * e^(–0,03 t / s) * (–0,03 / s)

v'(t) = 0,258 m/s^2 * e^(–0,03 t / s)

Wir setzen mun t = 0 s ein und erhalten

v'(0 s) = 0,258 m/s^2

e)

Die Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit mit der Proportionalitätskonstanten k. Wird die Geschwindigkeit also verdoppelt, ist auch die Reibungskraft doppelt so groß. Um die Geschwindigkeit konstant zu halten, muss also eine "Anschubskraft" (oder wie man es nennt) mit gleichem Betrag aufgebracht werden, um die Reibungskraft auszugleichen.

Wie löse ich diese Differentialgleichung (Trennen der Variable)?

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